fgrieu วิเคราะห์กรณีเฉลี่ย เรายังสามารถพิจารณากรณีที่เลวร้ายที่สุด - เรารับประกันว่าเอนโทรปีจะเหลืออยู่เท่าใด
'กรณีที่แย่กว่า' อย่างหนึ่งจะเกิดขึ้นหาก $a+b = 0 \pmod {256}$ และ $a \oบวก b = 0$; ในกรณีนั้น ทางออกเดียวที่เป็นไปได้คือ $a=b=0$ และ $a=b=128$; ดังนั้นเราจึงลดเอนโทรปีลงเหลือ 1 บิต
โดยทั่วไปแล้ว กรณีที่แย่กว่านี้จะเกิดขึ้นหาก $a \oบวก b = 0$ หรือ $a \oบวก b = 128$; เมื่อใดก็ตามที่เกิดขึ้น มีวิธีแก้ไขที่เป็นไปได้เพียงสองวิธีคือ (ในกรณีของ $a \oบวก b = 0$เรามีอย่างใดอย่างหนึ่ง $a = b = ผลรวม/2$ (ที่ไหน $ผลรวม$ คือผลรวมที่เผยแพร่ซึ่งจะเป็นเลขคู่เสมอ) หรือ $a = b = ผลรวม/2 + 128$; ในกรณีของ $a \oบวก b = 128$, เรามี $a, b = ผลรวม/2, ผลรวม/2 + 128$ ตามลำดับ
เราทราบว่าสำหรับใดๆ $a, b$ค่าทางเลือก $a \oบวก 128, b \oบวก 128$ ให้ xor และผลรวมเท่ากันเสมอ ดังนั้นจึงมีวิธีแก้ไขอย่างน้อยสองวิธีเสมอ ดังนั้น กรณีที่ไม่ดีนี้จึงเป็นกรณีที่แย่กว่า
ฉันจะถือว่า bitstrings ถูกหลอมรวมกับจำนวนเต็มโดยสัญกรณ์ big-endian $a$ และ $ข$ เป็น $k$-บิตด้วย $k=8$ ในคำถาม และได้รับสอง $k$- ปริมาณบิต $s:=a+b\bmod{2^k}$ และ $x:=a\oบวก b$.
$s$ และ $x$ ไม่เป็นอิสระ: บิตลำดับต่ำของพวกเขาเหมือนกัน จึงเปิดเผย $(ส,x)$ เผย ที่มากที่สุด $2k-1$ บิตของข้อมูลจึงทำให้ ที่มากที่สุด ก $2k-1$ การลดเอนโทรปีเล็กน้อย
ตั้งแต่ให้ $a$ และ $x$ เราสามารถคำนวณได้ $b=a\oบวก x$,เปิดเผย $(ส,x)$ สาเหตุ อย่างน้อย ก $k$ การลดเอนโทรปีเล็กน้อย
การลดลงของเอนโทรปีจริงจะแตกต่างกันไปตามขอบเขตเหล่านี้:
ฉันยืนยันโดยไม่มีหลักฐานว่าสำหรับ $i\in[0,k)$ การสูญเสียเอนโทรปีคือ $2k-1-i$ เล็กน้อยด้วยความน่าจะเป็น ${k-1\choose i}/2^{k-1}$และเป็นไปตามการสูญเสียเอนโทรปีที่คาดไว้คือ $(3k-1)/2$ นิดหน่อย.
เนื่องจากฉันไม่เห็นมันกล่าวถึง: $a + b = (a\oplus b) + ((a\&b)<<1) \bmod 256$ (ที่ไหน $<<$ หมายถึงการเลื่อนซ้าย) ดังนั้นข้อมูลที่คุณได้รับจึงเทียบเท่ากับการรู้ $a\oบวกข$ และ - ยกเว้นบิตสูงสุด - $a\&b$.
ฟังก์ชั่นทั้งหมด $a+b$, $a\oบวกข$ และ $a\&b$ มีความสมมาตรใน $a$ และ $ข$. สำหรับตำแหน่งบิตคงที่ $i$ คุณจึงทราบได้มากที่สุดว่ามีกี่บิตในสองบิต $a_i$ และ $b_i$ คือ 1 แต่ถ้ามีแค่อันเดียวก็ไม่รู้ว่าอันไหน
สำหรับทั้งหมดยกเว้นบิตสูงสุดที่คุณรู้ $a_i\&b_i$ และ $a_i\oบวก b_i$ซึ่งเป็นเพียงเลขฐานสองของ $a_i+b_i$ดังนั้นคุณจึงมีทุกตำแหน่งบิต (แต่สูงสุด) เท่ากับ 0/1-count สำหรับตำแหน่งบิตสูงสุดที่คุณมี $a_7\oบวก b_7$.
จากนี้คุณควรจะได้ผลลัพธ์ของเสื้อปอนโชและ fgrieu
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
