พิสูจน์ว่า RSA CCA เป็นไปได้

ผู้เขียนลืมไปบางส่วน $\bmod n$ ระหว่างทาง. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมการ 9.2 นั้นผิด และควรจะเป็น $$E(PU,M_1)\times E(PU,M_2)\bmod n=E(PU,(M_1\times M_2\bmod n))$$ นอกจากนี้ สิ่งที่ตามมา "สังเกตว่า" ผิดในบรรทัดแรก จากนั้นเมื่อเปลี่ยนจากบรรทัดที่สองไปยังบรรทัดสุดท้าย (ข้อสรุปนั้นถูกต้อง)

ความยุ่งเหยิงนี้สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยใช้โมดูโลที่สอดคล้องกัน $n$, หนึ่ง ความสัมพันธ์สมมูล ใน $\mathbb Z$ ข้อสังเกต $\equiv$ กับ$\pmod n$ ที่ท้ายบรรทัด จำได้ว่าสำหรับ $n,k\in\mathbb N^*$, $u,v\in\mathbb Z$

• คำสั่ง $u\equiv v\pmod n$ วิธี $v-u$ เป็นทวีคูณของ $n$
• คำสั่ง $u=v\bmod n$ นอกจากนี้หมายถึง $0\le คุณ<n$.
• มันถือ $$\begin{จัด} (u\bmod n)+v&\equiv u+v&\pmod n\ (u\bmod n)\times v&\equiv u\times v&\pmod n\ (u\bmod n)^k&\equiv u^k&\pmod n\ \end{align}$$

ด้วยนั่นเอง $\equiv$ สัญกรณ์หลักฐานจะกลายเป็น:

• กำหนด $X:=C\times2^e\bmod N$ และส่งสิ่งนี้เพื่อถอดรหัสโดยยอม $Y:=X^d\bmod n$.
• มันถือ $Y\equiv X^d\equiv(C\times2^e)^d\equiv C^d\times(2^e)^d\equiv C^d\times2\pmod n$สังเกตว่า $(2^e)^d\equiv2\pmod n$ เพราะ $2$ ได้รับการเข้ารหัสและถอดรหัส
• เนื่องจาก $0\le Y<n$ มันถือ $Y=2M\bmod n$ซึ่งช่วยให้เราพบว่า $M$ จาก $Y$: ถ้า $Y$ ถึงเวลานั้นแล้ว $M:=Y/2$, มิฉะนั้น $M:=(Y+n)/2$.