คุณสมบัติของกลุ่มการจับคู่แบบบิลิเนียร์?

ใน การเข้ารหัสตามการจับคู่, การจับคู่แบบบิลิเนียร์มักจะถูกกำหนดดังนี้:

อนุญาต $G_1, G_2, G$ เป็นกลุ่มวัฏจักรจำกัดในลำดับเดียวกัน การจับคู่แบบทวิเนียร์จึงเป็นแผนที่ $e : G_1 \times G_2 \rightarrow G$ ซึ่งเป็น bilinear นั่นคือ: $$ จ(p^a, q^b) = จ(p, q)^{ab} $$

มักจะบอกเป็นนัยหรือบังคับว่า:

• $e$ ไม่ใช่การจับคู่เล็กน้อยซึ่งจับคู่อินพุตทั้งหมดกับองค์ประกอบที่เป็นกลางของ $G$
• เรามีวิธีคำนวณ $e$ 'อย่างมีประสิทธิภาพ'
• ถ้า $g_1$ เป็นเครื่องกำเนิดของ $G_1$, และ $g_2$ ของ $G_2$, แล้ว $e(g_1, g_2)$ เป็นเครื่องกำเนิดของ $G$
• ในบางบริบท $G_1 = G_2$ ถูกนำมาใช้นั่นคือ $e$ จะเป็นรูปแบบ $e : G_1 \times G_1 \ลูกศรขวา G$.

ดังนั้น การจับคู่แบบทวิเนียร์อย่างไม่เป็นทางการทำให้สามารถ "ดึง" เลขชี้กำลังออกมา (สมมติว่าเป็นสัญกรณ์การคูณ) ของอินพุต

หลักฐานความถูกต้องที่คุณอ้างนั้นตรงไปตรงมา จากนั้น: $$ \begin{จัด} e(g^r,H(id)^x) & = e(g, H(id))^{rx} & \text{ bilinearity} \ & = e(g, H(id))^{xr} & \text{ การสลับที่} \ & = e(g^x, H(id)^r) & \text{ bilinearity} \end{แนว} $$

คุณสามารถค้นหาคำแนะนำที่เหมาะสม (ฉันพบ) เกี่ยวกับการเข้ารหัสตามการจับคู่ใน สไลด์การบรรยายเหล่านี้โดย John Bethencourt.