นี่ไม่ใช่คำตอบ
ด้วยความหวังที่จะช่วยเหลือใครก็ตามที่คิดเกี่ยวกับเรื่องนี้ และในแง่ของความคิดเห็นของ @TMM ต่อไปนี้เป็นเนื้อหาเพิ่มเติมเล็กน้อยเกี่ยวกับข้อความ "โดยสัญชาตญาณ เราจะรู้สึกว่าถ้า $\beta_2$ มีขนาดเล็ก ดังนั้นการมีส่วนร่วมของเวกเตอร์ต่างๆ ต่อคะแนนจะไม่เป็นอิสระต่อกัน"
พิจารณากรณี $\beta_2=1$. ในกรณีนี้ทั้งหมดของเรา $(\mathbf x^T,\mathbf y^T)$ เวกเตอร์จะเป็นจำนวนทวีคูณของเวกเตอร์กำเนิดเดียว เช่น $\alpha(\mathbf x_0^T,\mathbf y_0^T)$ กับ $\alpha$ บางที Gaussian ที่ไม่ต่อเนื่องขึ้นอยู่กับจำนวนเวกเตอร์ ตอนนี้มี $q^{n-1}$ เวกเตอร์ $\mathbf v$ ดังนั้น $\mathbf x_0^T\cdot\mathbf v=0$. พิจารณาเวกเตอร์ของแบบฟอร์ม $\mathbf v+\mathbf e$ ที่ไหน $\mathbf อี$ มาจากการแจกแจงแบบเดียวกับตัวอย่าง LWE เราคาดว่าบางที $O(\sigma^nq^{n-1})$ เวกเตอร์ดังกล่าว (เวกเตอร์ที่มีการแสดงสองตัวดังกล่าวควรหายาก) และสำหรับขนาดใหญ่ $n$ เราอาจคาดหวังว่าสิ่งเหล่านี้จะครอบคลุมพื้นที่ส่วนใหญ่ คะแนนของเวกเตอร์ดังกล่าวกำหนดโดย $\alpha\mathbf x_0^T\mathbf e$ และให้คะแนนของการแก้ปัญหาเชิงสาเหตุโดย $\alpha(\mathbf x_0^T\mathbf e+\mathbf y_0^T\mathbf s)$. ช่องว่างของเวกเตอร์เชิงสาเหตุจะแยกไม่ออก
โดยทั่วไปสำหรับ $\beta_2=k$ คงจะมีพื้นฐานของ $k$ $(\mathbf x_i^T,\mathbf y_i^T)$ เวกเตอร์ที่มีชุดทดสอบของเราเกิดจากการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์พื้นฐานโดยที่ค่าสัมประสิทธิ์คือ Gaussian (?) อีกครั้งจะมีชุดของ $q^{n-k}$ เวกเตอร์ $\mathbf v$ ตั้งฉากกับทั้งหมด $\mathbf x_i^T$ และอาจจะเป็นย่านของ $O(\sigma^nq^{n-k})$ ของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นสาเหตุของการให้คะแนนต่ำ
นี่ดูเหมือนจะแนะนำว่า $\beta_2$ ควรเป็นอย่างน้อย $n\log \sigma/(\log q)$แต่อาจมีชุดเชิงโครงสร้างอื่นๆ ที่ไม่ใช่เชิงสาเหตุ เช่นเดียวกับคะแนนต่ำที่ไม่ใช่เชิงโครงสร้าง ในทำนองเดียวกัน ข้อโต้แย้งสำหรับการขาดการทับซ้อนกันในละแวกใกล้เคียงและระหว่างชุดเชิงสาเหตุถือเป็นแนวทางที่ดีที่สุด