มีสูตรทั่วไปสำหรับจำนวนลำดับต่างๆ ที่ผลิตด้วย $x\mapsto x^\alpha \mod N$ หรือไม่

ขึ้นอยู่กับ $\alpha,N,x$ ลำดับ $x\mapsto x^\alpha \mod N$ สามารถมีความยาวต่างกันได้ หากองค์ประกอบแรก $x_0$ เริ่มต้นด้วย $x_0 = x_r^\alpha$ สำหรับการสุ่ม $x_r$ ลำดับจะมีขนาดคงที่เกือบตลอดเวลา
เราจะเน้นเฉพาะลำดับที่พบบ่อยที่สุดที่มีขนาดสูงสุดเท่านั้น $N_L$ (สำหรับให้ $\alpha,N$).

แล้วแต่จะเลือก $x_0$ มันสามารถนำไปสู่ลำดับที่แตกต่างกันและไม่ต่อเนื่องกันโดยยังคงมีขนาดลำดับสูงสุดเท่าเดิม

คำถาม: มีสูตรทั่วไปในการคำนวณจำนวนลำดับเหล่านั้นหรือไม่ (สำหรับ $\alpha,N$)?

แก้ไข: คำตอบที่โพสต์และยอมรับไม่ได้ตอบคำถามนี้ แต่มีประโยชน์มาก
คำตอบสำหรับคำถามนี้ยังคงยินดีต้อนรับ (จบการแก้ไข)

ในขณะที่แก้ไขไปรอบ ๆ ฉันพบสูตรบางอย่างสำหรับบางคนแล้ว $N, \อัลฟา$ ด้วยโครงสร้างพิเศษ ความยาวรอบ $\alpha$ โมดูโลปัจจัยสำคัญบางประการของ $\phi(น)$ และปัจจัยของ $\phi(\phi(N))$ ดูเหมือนจะมีผลกระทบต่อการนับนั้น
นอกจากนี้ยังเกี่ยวข้องกับจำนวนของค่าต่างๆ $N_{\alpha}=|\{x^\alpha \bmod N\}|$ และความยาวสูงสุดของลำดับเหล่านั้น $N_L$.

สำหรับ $N_\อัลฟ่า$ มันได้รับคำตอบในอีกข้อหนึ่ง เกลียว. ถ้า $N$ เป็นผลคูณของปัจจัยเฉพาะ: $$N = \prod_{i=1}^n p_i$$ จำนวนของค่าต่างๆ $N_\อัลฟ่า$ อยากจะเป็น $$N_{\alpha} =\prod_{i=1}^n\left(1+\frac{p_i-1}{\mathrm{gcd}(\alpha,p_i-1)}\right)$$ สำหรับ $N_L$ ฉันแค่สร้างสมการบางอย่างที่ใช้ได้ผลสำหรับบางคน $N, \อัลฟา$. ยินดีต้อนรับสูตรทั่วไป
ทั้งสองอย่างรวมกันอาจนำไปสู่การประมาณจำนวนลำดับ

คำถามเสริม: ลำดับเหล่านั้นมีชื่อพิเศษหรือไม่? คุณสมบัตินี้และคุณสมบัติอื่น ๆ อธิบายไว้ที่ใดที่หนึ่ง (ในรูปแบบกะทัดรัด) หรือไม่?

เป้าหมาย $N$ ก็จะมี $2$,$3$ หรือ $4$ ปัจจัยเฉพาะที่ไม่ซ้ำแบบคี่