การแมปสตริง k บิตกับสตริง k บิตอื่นที่มี 1 เป็นฟังก์ชันทางเดียวหรือไม่

ฉันยังใหม่กับการวิเคราะห์การเข้ารหัสและฉันเห็นคำตอบอื่นสำหรับ คำถาม นั่น $f: \lbrace0, 1\rbrace^{\kappa}\ถึง \lbrace0, 1\rbrace^{\kappa}, f(x) = 1^{\kappa} $ เป็นฟังก์ชันทางเดียว ทำไมถึงเป็นกรณีนี้? ความช่วยเหลือใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชม

การอ้างสิทธิ์ (ซึ่งฉันไม่พบที่ใดก็ได้ในคำตอบของคำถามที่เชื่อมโยง) นั้นไม่ถูกต้อง ฟังก์ชันคงที่ไม่สามารถเป็นแบบทางเดียวได้ หากต้องการทราบสาเหตุ ลองนึกถึงนิยามของฟังก์ชันทางเดียว

ฟังก์ชั่น $f : \{0,1\}^* \ถึง \{0,1\}^*$ เป็นทางเดียวถ้า

1. มีอัลกอริธึมเวลาพหุนามอยู่ $M_f$ ดังนั้น $M_f(x) = ฉ(x)$ สำหรับทุกอย่าง $x\in\{0,1\}^*$.
2. สำหรับทุกอัลกอริทึม PPT $\mathcal{A}$ มีฟังก์ชันเล็กน้อยอยู่ $\mathsf{negl}$ เช่นนั้นสำหรับทุกคน $\kappa\in\mathbb{N}$ มันถืออย่างนั้น $$\Pr[x\gets\{0,1\}^\kappa, y:=f(x)\;:\;f(\mathcal{A}(1^\kappa,y))=y ] \leq \mathsf{negl}(\kappa)$$

อย่างไรก็ตามสำหรับฟังก์ชันคงที่ใด ๆ เป็นเรื่องง่ายที่จะระบุอัลกอริทึม PPT $\mathcal{A}$ ซึ่ง $$\Pr_{x\gets\{0,1\}^\kappa}\bigl[f\bigl(\mathcal{A}(1^\kappa,f(x))\bigr)=f(x) \bigr] = 1$$ สำหรับทุกอย่าง $\kappa\in\mathbb{N}$. เช่น เราสามารถกำหนด $\mathcal{A}$ เป็นอัลกอริทึมที่ส่งออกเสมอ $1^\กัปปะ$. นั่นคือสำหรับทุกคน $x\in\{0,1\}^\กัปปะ$ เรามี $f\bigl(\mathcal{A}(1^\kappa,f(x))\bigr) = f(1^\kappa)$ และเนื่องจากฟังก์ชั่น $f$ มันคงที่ มันคงอยู่ตลอดไป $x\in\{0,1\}^\กัปปะ$ นั่น $f(1^\กัปปะ) = f(x)$. ดังนั้น $\mathcal{A}$ ทำลายความเป็นหนึ่งเดียวของ $f$ ด้วยความน่าจะเป็น $1$ และ $f$ ไม่ใช่ทางเดียว