พิจารณา Learning With Errors รุ่นต่อไปนี้
คุณได้รับอย่างใดอย่างหนึ่ง $(A, As_1 + e_1, As_2 + e_2, \ldots, As_k + e_k)$ หรือ $(A, u_1, u_2, \ldots, u_k)$, ที่ไหน
คุณได้รับคำสั่งให้แยกแยะระหว่างสองกรณีนี้
สมมติว่ามาตรฐาน LWE ยาก ปัญหานี้ยากด้วยหรือไม่
โดยทั่วไป เมทริกซ์ที่แตกต่างกัน $A$ มีการสุ่มตัวอย่างสำหรับแต่ละตัวอย่าง LWE ที่นี่เรามีเมทริกซ์เดียวกัน $A$ แต่ $k$ ความลับที่แตกต่างกันมันเปลี่ยนแปลงอะไรเกี่ยวกับการตั้งค่าหรือไม่?
คุณไม่ได้ระบุปัญหาทั้งหมด แต่ฉันจะถือว่ามันเป็นการแยกแยะชุดที่สร้างขึ้นจาก $\mathbf s_k$ ค่า
ใน สูตรปกติ ของ LWE เราได้รับ $m$ ตัวอย่างที่สอดคล้องกัน $n$เวกเตอร์ยาว สิ่งเหล่านี้สามารถรวมกันเป็น $m\ครั้ง n$ เมทริกซ์ $A$ เพื่อให้แยกแยะปัญหาการตัดสินใจของ LWE "มาตรฐาน" ได้ $(A,A\mathbf s_1+\mathbf e_1)$ จาก $(A,\mathbf u_1)$.
เมื่อพิจารณาถึงปัญหาดังกล่าวแล้ว ศัตรูอาจสร้างมันขึ้นมาเอง $\mathbf s_j$, $\mathbf e_j$ และ $\mathbf u_k$ สำหรับ $j=2,\ldots k$ และสร้างสองกรณีสมมติของปัญหาของคุณโดยการรวมสองปัจจัยเข้าเพื่อตัดสินใจ LWE กับปัจจัยการผลิตของตนเอง เช่น $\{(A,A\mathbf s_1+\mathbf e_1,A\mathbf s_2+\mathbf e_2,\ldots A\mathbf s_K+\mathbf e_k),(A,\mathbf u_1,\ldots,\mathbf u_k)\}$ และ $\{(A,A\mathbf s_1+\mathbf e_1,\mathbf u_2,\ldots,\mathbf u_k),(A,\mathbf u_1,A\mathbf s_2+\mathbf e_2,\ldots,A\mathbf s_K+\mathbf e_k)\}$. หากมีวิธีแก้ปัญหาของคุณ ควรใช้ในกรณีแรกเพื่อแยกแยะชุดด้วย $\mathbf s_1$ ในนั้นจึงเป็นการแก้ LWE เชิงตัดสินใจดั้งเดิม มีคำถามว่าตัวแก้ปัญหาทำงานอย่างไรหากได้รับอินพุตที่ไม่ถูกต้อง แต่อีกครั้งเราควรแยกแยะได้ด้วยข้อได้เปรียบ
ใช่ มันยังยากด้วยอาร์กิวเมนต์แบบไฮบริดง่ายๆ โดยพื้นฐานแล้วสำหรับ $i\in[k]$ กำหนด "การกระจายแบบผสม"
$$H_i = (A, A\vec s_1 + \vec e_1,\dots, A\vec s_i + \vec e_i, \vec u_{i+1},\dots, \vec u_k).$$
แล้วปัญหาการแยกแยะระหว่าง $H_i$ และ $H_{i+1}$ สามารถลดปัญหา LWE ได้ เมื่อใช้สิ่งนี้เพื่อวิเคราะห์สิ่งต่าง ๆ อย่างเป็นรูปธรรม สิ่งนี้ทำให้สามารถผูกมัดข้อได้เปรียบของการแยกแยะระหว่าง $H_0$ และ $H_k$ โดย $k$ เท่าของข้อได้เปรียบของตัวแยก LWE
อาร์กิวเมนต์นี้ (และเทคนิคการใช้ซ้ำโดยทั่วไป $เอ$) วันที่ย้อนกลับไปอย่างน้อย ฟังก์ชั่นประตูกลที่สูญเสียและการใช้งาน โดย Peikert และ Waters ในปี 2551 มันมีประโยชน์ที่เป็นไปได้เล็กน้อย ได้แก่ :
โดยทั่วไปแล้วจะไม่ได้รับความสนใจมากนักอีกต่อไป นี่คือเหตุผลหลักสองประการ
นอกจากนี้ยังควรกล่าวถึงด้วยว่าแนวคิดข้างต้นเกี่ยวกับ "อินสแตนซ์ LWE ที่ได้มาตรฐาน" มีเหตุผลเชิงปฏิบัติสองสามข้อที่ว่าทำไมมันอาจไม่ฉลาดในช่วงเวลาที่ยาวนาน กล่าวคือ
มันเปิดโอกาสให้คุณโจมตีการประมวลผลล่วงหน้า (คล้ายกับมาตรฐานกลุ่ม DDH อื่น ๆ เช่นการโจมตี LogJam) และที่สำคัญกว่านั้น
เราสามารถสร้าง "อินสแตนซ์ LWE ลับๆ" --- การกระจายของเมทริกซ์แบบสุ่มโดยประมาณ $เอ$ ที่แยกไม่ออกจากการคำนวณจากการสุ่ม แต่มี "ประตูกล" ที่ช่วยให้สามารถทำลาย LWE ได้
อินสแตนซ์ LWE แบบแบ็คดอร์นั้นค่อนข้างตรงไปตรงมา (ฉันจำไม่ได้ว่าควรระบุแหล่งที่มาของใคร) จำได้ว่าสมมติฐานของ NTRU สร้างคีย์เป็นคีย์สาธารณะ $h$และรหัสลับ $f$, ดังนั้น $hf = g$ เล็ก". ด้วยการใช้รูปแบบ "เมทริกซ์" ที่เหมาะสม เราจะได้เมทริกซ์ $H, F$ ดังนั้น:
แล้วถ้าเราใช้ $H^t$ เป็นเมทริกซ์สุ่มของอินสแตนซ์ LWE เช่น รับตัวอย่าง $(H^t, H^t s + E)$เราสามารถทำลายสมมติฐาน LWE ได้อย่างง่ายดายโดยใช้เมทริกซ์สุ่มนี้ เช่น $F^t H^t s + F^t E = Gs + F^t E$ คือ "เล็ก" (ฉันเชื่อ) ทั้งหมดนี้เป็นเมทริกซ์ $H$ แยกไม่ออกจากการคำนวณจากการสุ่มภายใต้ NTRU เช่น ลับๆนี้ของ $H$ ตรวจจับได้ยาก
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
