สามารถสร้างลำดับวงจรได้ด้วย
$$s_{i+1} = s_i^a \mod N$$
กับ $N = P \cdot Q$ และ $P = 2\cdot p+1$ และ $Q = 2\cdot q+1$ กับ $พี,คิว,พี,คิว$ ช่วงเวลา
และ $a$ รากดั้งเดิมของ $p$ และ $คิว$.
จุดเริ่มต้น $s_0$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ($\mod N$)
มันจะสร้างวัฏจักรของความยาว $\mathrm{lcm}(p-1.q-1)$
(ยกเว้น $s_0$ คือ $p$-th หรือ $คิว$- พลัง $\mod N$)
ให้ตอนนี้เป็นจุดเริ่มต้น $s_0 = x_1$ มันจะสร้างลำดับวงจรดังกล่าว
ให้จุดเริ่มต้นอื่น $s_0 = x_2$ มันจะสร้างลำดับวงจรที่มีความยาวเท่ากัน แต่มีสมาชิกที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง
มีวิธีใดที่จะแปลงร่าง $x_2$ ดังนั้นมันจะสร้างลำดับวัฏจักรเหมือนกับ $x_1$ ทำ?
(แก้ไข: คำตอบที่โพสต์คือ if ใดๆ และไม่เหมือนกับคำถามจะทำเครื่องหมายเป็นคำตอบที่นี่ได้อย่างไร)
(เกี่ยวข้องกับคำตอบของ นี้)
อัปเดต:
ดูเหมือนว่าจำนวนรอบต่างๆ $N_c$ เป็น:
$$ N_c = (S_N - S_{pq}) /L_c$$
$$ S_N = |\{ v^2 \mod N\}| \text{ กับ } v\in[1,N-1]$$
$$L_c = \mathrm{lcm}(p-1.q-1)$$
และ $S_{pq}$ จำนวนช่องสี่เหลี่ยมที่เป็น a ด้วย $p$-ไทย, $คิว$- พลัง $\mod N$ .
$S_N$ อาจจะใหญ่กว่าเสมอ $\frac{1}{4}N$
ในการทดสอบบางอย่างสำหรับ $N=3901$ กับ $P=47$ , $Q=83$, $a = 7$ (หรือ $11, 17, 19,..$) ทำได้สองรอบด้วย $L_c = 440$, $S_N = 1,006$, $S_{pq}=127$.
หนึ่ง $x1$ สามารถแปลงเป็นค่าจากรอบอื่นได้ (ซึ่งเริ่มต้นด้วย $x_2$) ด้วยเลขยกกำลัง $ข$ ชอบ $x_1^b \mapsto s_i\in \mathrm{รอบ}_{x_2}$
เลขชี้กำลังนี้จำเป็นต้องเป็น $b \in [3 , 5 , 6 , 10 , 12 , 13, 20 , 21 , 24 , 26 , 27 , 29 , 33 , 35 , 37, 40, 42 , 43 , 45, 47, ...]$
ไม่รู้ว่าทำไมค่าเหล่านั้นถึงได้ผล
สำหรับ $N=40633, P= 179, Q= 227$ กับ $S_N= 10259$ สี่เหลี่ยมรวมถึง $S_{pq}= 403$ มันมี $8$ รอบที่มีความยาว $L_c= 1232$. เลขชี้กำลัง $a$ สำหรับการสร้างลำดับสามารถ $a\in[3, 19, 23, 29, 43,..]$
สำหรับเลขชี้กำลังนี้ $ข$ ต้องการจะเป็น $b \in [7 , 13, 17 , 21, 28 , 39 , 51 , 52 , 62 , 63 , 68 , 71 , 79 , 84 , 110 , 112 , 117,125,..]$
การใช้เลขยกกำลังใดๆ เหล่านั้น $ข$ เป็นค่าเริ่มต้น $x_0$ ก็จะส่งผลเป็นวัฎจักรเป็นลำดับต่อไป ลำดับของวงจรนี้มีค่าเท่ากันสำหรับทุกเลขชี้กำลัง $ข$.
ในการวิเคราะห์กรณีเช่นนี้ การดูโมดูโลพฤติกรรมจะเป็นประโยชน์ $พี$ และโมดูโล $คิว$ แยกกันแล้วดูว่ารวมกันอย่างไร ฉันจะเพิ่มสมมติฐานที่ว่า $P \ne Q$; คุณไม่ได้พูดอย่างชัดเจน ฉันเชื่อว่ามันสมเหตุสมผลที่คุณสันนิษฐานไว้
เมื่อเราดูโมดูโลโครงสร้างวัฏจักร $พี$เรามาดูกันก่อนว่า $s_0 \bmod P$ เป็นโมดูโลเรซิดิวกำลังสอง $พี$ (ซึ่งเป็นวิธีทางคณิตศาสตร์ในการพูดว่า "เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส"); เนื่องจาก $a$ เป็นรากดั้งเดิมของ $p$แล้วเราจะเห็นว่ามีสามรอบ:
รอบของความยาว 1 (ค่า 0)
รอบของความยาว 1 (ค่า 1)
รอบของความยาว $p-1$; นี้เป็นเพราะ $a^i \bmod p-1$ เป็นค่าที่แตกต่างกันในช่วง $[0, หน้า-2]$, และ $s_0$ มีคำสั่ง $p-1$ (ในกลุ่มนี้ การตกค้างกำลังสองที่ไม่ใช่ 1 จะเป็นลำดับนั้นเสมอ) เป็นต้น $s_0^{a^i}$ เป็น $p-1$ ค่าที่แตกต่างกัน
เราได้ผลลัพธ์ที่คล้ายกันสำหรับการดูโมดูโลพฤติกรรม $คิว$.
เมื่อพิจารณาจากพื้นฐานเหล่านั้นแล้ว พวกมันรวมกันได้อย่างไร?
วงจรโมดูโล $พีคิว$ ทำซ้ำเฉพาะเมื่อทั้งวงจรโมดูโล $พี$ ซ้ำและวงจรโมดูโล $คิว$ ซ้ำ; ถ้า $พี$- รอบมีความยาว $\alpha$ และ $คิว$- รอบมีความยาว $\เบต้า$วงจรรวมกันนี้มีความยาว $\text{lcm}(\alpha, \beta)$.
นี่หมายความว่าการรวมกันของสองรอบใหญ่จะมีความยาว $\text{lcm}(p-1,q-1)$ (ซึ่งเป็นผลลัพธ์ที่คุณพบแล้ว) และมี $\gcd(p-1,q-1)$ วิธีที่วงจรขนาดใหญ่ทั้งสองนี้สามารถรวมกันได้
ตอนนี้เราพิจารณาชุดค่าผสมที่มีวงจรขนาดเล็ก เรามีชุดค่าผสมสองชุดพร้อมความยาวรอบ $p-1$, สองชุดที่มีความยาวรอบ $q-1$และสี่ชุดค่าผสมที่มีความยาวรอบ 1 (ซึ่งรวมถึง $s_0 = 0$ และ $s_0 = 1$).
ดังนั้น จำนวนรอบทั้งหมดคือ $\gcd(p-1, q-1) + 8$.
และเพื่อตอบคำถามของคุณ:
มีวิธีใดที่จะแปลงร่าง $x_2$ ดังนั้นมันจะสร้างลำดับวัฏจักรเหมือนกับ $x_1$ ทำ?
สำหรับจำนวนเต็มใดๆ $\เบต้า$, เรามี $s_{i+1}^\beta = (s_i^\beta)^a$. นั่นคือถ้าเรานำทุกองค์ประกอบของวัฏจักรแล้วเพิ่มพลัง $\เบต้า$เรายังมีวัฏจักร
ดังนั้นถ้าเรามีค่า $\เบต้า$ ซึ่ง $x_2^\เบต้า = x_1$นั่นทำให้เรามีวิธีเปลี่ยนวัฏจักรหนึ่งไปเป็นอีกวัฏจักรหนึ่ง
ปรากฎว่ามีอยู่เสมอ $\เบต้า$ ถ้าทั้งสองรอบมีขนาดใหญ่ทั้งคู่ (นั่นคือความยาว $\text{lcm}(p-1, q-1)$). สำหรับวัฏจักรเสื่อม (อื่นๆ ทั้งหมด) จะไม่มี - อย่างไรก็ตาม ฉันไม่คิดว่ากรณีนั้นน่าสนใจ...
แน่นอนการค้นหาดังกล่าว $\เบต้า$ ที่ให้ไว้ $x_1, x_2$ เป็นปัญหาที่ไม่สำคัญหาก $P, Q$ มีขนาดใหญ่...
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
