อนุญาต $E$ เป็นเส้นโค้งวงรี $^2 + xy â¡ ^3+^2+$ (เส้นโค้งไวเออร์สตราส) (ในกรณีนี้ มีลักษณะ 2) บนฟิลด์ส่วนขยายไบนารี $(2^{m})$ ด้วยการสร้างพหุนาม $()$ เป็นพหุนามดั้งเดิมที่ลดไม่ได้ $GF(2)$, และปล่อยให้ $P(x_p,y_p)$ เป็นจุดบนเส้นโค้ง
ฉันได้เห็นการใช้งานและการอภิปรายต่างๆ (เช่น นี้ คำตอบที่ด้านล่าง) กล่าวถึงประเด็นนั้น $พี$ สามารถแยกแยะได้ด้วยฟังก์ชั่นการติดตามฟิลด์และ "สามารถแสดงได้ว่าสำหรับจุดในกลุ่มย่อยของลำดับเฉพาะของเส้นโค้ง การติดตามของ $x_p$ พิกัดจะต้องเท่ากับร่องรอยของ $a$ จากสมการเส้นโค้งวงรี", เช่น.
$Tr(x_p) = \begin{cases} \mbox{a,} & \mbox{if } P \in E \ \mbox{1,} & \mbox{มิฉะนั้น} \end{cases}$
ถึงกระนั้น ฉันไม่พบบรรณานุกรมที่เกี่ยวข้องใดๆ ที่อธิบายได้อย่างชัดเจนว่าทำไมสิ่งนี้จึงถือมาจากมุมมองทางคณิตศาสตร์ ใครสามารถให้ทฤษฎีที่เกี่ยวข้องเบื้องหลังสิ่งนี้ได้บ้าง นอกจากนี้ อะไรคือข้อจำกัดและเงื่อนไขพื้นฐานที่จำเป็นสำหรับการติดตามเพื่อให้สามารถสะท้อนได้ว่าจุดหนึ่งอยู่บนเส้นโค้งหรือไม่
ขอขอบคุณสำหรับเวลาของคุณ,
นี่คือสิ่งที่ฉันสามารถหาได้จากโน้ตโค้งวงรีที่นี่: https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/elliptic/explicit.htmlให้จุด $P=(x_1,y_1)$ และเส้นโค้งที่กำหนดโดย $$Y^2+a_1XY = X^3+a_2X^2+a_4X+a_6$$ จากนั้น $x$-พิกัด $2P$ มอบให้โดย
$$x_2 = \lambda^2 + a_1\lambda - a_2 - 2x_1$$
ในกรณีของคุณ $a_1=1$. อีกด้วย $2x_1=0$ เนื่องจากฟิลด์มีลักษณะ 2 และเราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายลบทั้งหมดเป็นเครื่องหมายบวกได้ด้วยเหตุผลเดียวกัน ดังนั้นสูตรจะกลายเป็น:
$$x_2=\lambda^2 + \lambda + a$$
ร่องรอยของ $x_2$ จะ $\text{tr}(\lambda^2) + \text{tr}(\lambda)+\text{tr}(a)$. เนื่องจาก $\text{tr}(\lambda^2) = \text{tr}(\lambda)$ซึ่งหมายถึง $\text{tr}(x)=\text{tr}(ก)$. ดังนั้นสำหรับจุดใด $พี$ บนทางโค้ง ถ้า $P=2คิว$ สำหรับบางคน $คิว$แล้วร่องรอยของ $พี$'s $x$-coordinate เท่ากับร่องรอยของ $a$.
ถ้าเรามีกลุ่มย่อยที่เป็นวัฏจักรที่มีลำดับคี่ $n$, แล้ว $2$ มีผกผันบางอย่าง $2^{-1}$ โมดูโล $n$. ดังนั้น เริ่มจากข้อใดข้อหนึ่ง $พี$ ในกลุ่มย่อยนี้ เราทราบดีว่า $2(2^{-1}P)=P$ดังนั้นจึงมีจุด $Q=2^{-1}P$ ดังนั้น $P=2คิว$และด้วยเหตุนี้ $x$-พิกัดมีรอยเหมือน $a$.
โดยทั่วไป ทุกองค์ประกอบของกลุ่มย่อย $2E(GF(2^m)) = \{x+x : x\in E(GF(2^m))\}$ ก็จะมีรอยนี้เหมือนกันหมด
แล้วจุดอื่นล่ะ? ฉันไม่รู้. อาจเป็นจุดที่ $พี$ ซึ่งไม่เท่ากัน $2คิว$ สำหรับใดๆ $คิว$ ยังสามารถมีร่องรอยเท่ากับ $\text{tr}(ก)$หรือบางทีคุณอาจพิสูจน์ได้ว่าพวกเขาทำไม่ได้
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
