การทำแผนที่โฮโมมอร์ฟิคจาก $F_{p^n}$ ถึง $Z_{p^n}$

"เป็นไปได้ไหมที่จะมีการทำแผนที่โฮโมมอร์ฟิคจาก $\mathbb F_{p^n}$ ถึง $\mathbb Z_{p^n}$ ที่เก็บทั้งตัวดำเนินการบวกและการคูณไว้หรือไม่"

นอกเหนือไปจาก isomorphism เมื่อ $n=1$เฉพาะการแมปที่น่าเบื่อมากเท่านั้นที่ส่งทุกอย่างไปที่ 0 พิจารณาเอกลักษณ์การคูณของ $\mathbb F_{p^n}$. เราเขียนสิ่งนี้เป็น 1 และพิจารณาโฮโมมอร์ฟิซึ่มสมมุติฐานของเรา $\phi$. เราเห็นสิ่งนั้นโดยการบวกการบวก $k$ สำเนาของ 1 สำหรับจำนวนเต็มใดๆ $k$ เรามี $\phi(1+\cdots+1)=k\phi(1)\mod {p^n}$ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับ $k=p$ เราเห็นอย่างนั้น $p\phi(1)=\phi(0)=0$ ดังนั้น $\phi(1)=cp^{n-1}$ สำหรับบางคน $1\le c\le p$. ยิ่งกว่านั้น เรามีการคูณด้วย $\phi(1)=\phi(1\cdot 1)=\phi(1)\phi(1)$ ดังนั้น $\phi(1)=1$ หรือ $0$. เราสรุปว่า $c=p$ และ $\phi(1)=0$ (ยกเว้นกรณี $n=1$). นอกจากนี้สำหรับใดๆ $\alpha\in\mathbb F_{p^n}$ $\phi(\alpha)=\phi(1\cdot\alpha)=\phi(1)\phi(\alpha)=0$.

"หรือถ้าเราผ่อนปรนข้อกำหนด เราสามารถทำแผนที่โฮโมมอร์ฟิคจากกลุ่มการคูณได้ไหม $\mathbb F_{p^n}^\times$ ถึง $\mathbb Z_{p^n}^\times$ ที่รักษาการคูณ?"

น่าเบื่อน้อยลงเพียงเล็กน้อยเท่านั้น โปรดทราบว่า $|\mathbb F_{p^n}^\times|=p^n-1$ และ $|\mathbb Z_{p^n}^\times|=p^n-p^{n-1}$. ขนาดของภาพโฮโมมอร์ฟิซึ่มใด ๆ จะต้องแบ่ง GCD ของทั้งสองซึ่งก็คือ $p-1$. เรามองว่าภาพนั้นจะต้องเป็นกลุ่มย่อยของ $(p-1)$รากที่ 1 นิ้ว $\mathbb Z_{p^n}$. ตอนนี้เลือกตัวสร้างการคูณใดๆ ของ $\mathbb F_{p^n}^\times$ เรียกสิ่งนี้ $\alpha$. มีแม่น $p-1$ กลุ่มโฮโมมอร์ฟิซึ่มขึ้นอยู่กับว่ากลุ่มใด $(p-1)$รากที่ 1 เท่ากับ $\phi(\alpha)$. เคอร์เนลจะเป็น $\ell$อำนาจใน $\mathbb F_{p^n}^\times$ ที่ไหน $\ell|(p-1)$ คือลำดับการคูณของ $\phi(\alpha)$ ใน $\mathbb Z_{p^n}^\times$.