ฉันอ่าน "ในการใช้งานระบบเข้ารหัสแบบจับคู่".
มันระบุว่า $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ เป็นไอโซมอร์ฟิคกับผลคูณของ $\mathbb{Z}_r$ ด้วยตัวมันเอง $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ เป็นชุดของ $r$-torsion point ซึ่งหมายถึงทุกจุด $พี$ ที่ไหน $rP = O$ (ฉันคิดว่า).
ตกลง. ลองทดสอบสิ่งนี้ด้วย $r = 2$. เรารู้ว่า 4 วิธีแก้ไขคือ: $\{O, (a_0, 0), (a_1, 0), (a_2, 0)\}$ ที่ไหน $a_n$ คือ $n$-th รากลูกบาศก์ $x^3 + ขวาน + b = 0$.
แต่ $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$ เป็น $\{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\}$.
ฉันเดาว่านี่คือ isomorphic เนื่องจากมี 4 องค์ประกอบในแต่ละชุด แต่... ฉันไม่แน่ใจว่าการระบุว่ามี isomorphism จะเพิ่มมูลค่าได้อย่างไร?
ตัวอย่างเช่น เราสามารถพูดแทนได้ $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ มี $r^2$ องค์ประกอบ (ซึ่งเป็นขนาดของ $\mathbb{Z}_r \times \mathbb{Z}_r$).
$E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ เป็นชุดของ $r$-torsion point ซึ่งหมายถึงทุกจุด $พี$ ที่ไหน $rP = O$ (ฉันคิดว่า).
ถูกต้อง.
ฉันเดาว่านี่คือ isomorphic เนื่องจากมี 4 องค์ประกอบในแต่ละชุด แต่... ฉันไม่แน่ใจว่าการระบุว่ามี isomorphism จะเพิ่มมูลค่าได้อย่างไร?
ตัวอย่างเช่น เราสามารถพูดแทนได้ $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$ มี $r^2$ องค์ประกอบ (ซึ่งเป็นขนาดของ $Z_r \ครั้ง Z_r$).
การทำความเข้าใจโครงสร้างนี้ค่อนข้างสำคัญสำหรับแอปพลิเคชันจำนวนมากในการเข้ารหัส ตัวอย่างเช่น มันเป็นพื้นฐานอย่างมากในการเข้ารหัสแบบไอโซเจนีส เหตุผลนี้เป็นเพราะว่าเป็นผลคูณของสองกลุ่มวงจร มันถูกสร้างขึ้นโดยสองจุด (อิสระ) $P, Q$ ของการสั่งซื้อ $r$. นั่นคือทุกจุดในแรงบิดสามารถเขียนเป็น $[a]P + [b]Q$ สำหรับค่าสัมประสิทธิ์บางอย่าง $a,ข$. เปรียบเทียบสิ่งนี้ เช่น กับการเข้ารหัสแบบโค้งวงรีแบบคลาสสิก ซึ่งเราทำงานในกลุ่มวงจร และทุกจุดสามารถเขียนเป็น $[x]G$ สำหรับเครื่องปั่นไฟเครื่องเดียว $G$. ไม่มีจุดสั่งซื้อ $r^2$ ใน $E(\mathbb{F}_{k^q})[r]$แม้ว่ากลุ่มตัวเองจะมีคำสั่ง $r^2$.
เนื่องจากโครงสร้างนี้มี $r+1$ กลุ่มย่อยของคำสั่ง $r$ ในกลุ่มย่อยของแรงบิด สิ่งนี้มีความสำคัญในการเข้ารหัสที่ใช้ไอโซจีนีเพราะแต่ละกลุ่มย่อยสร้างเคอร์เนลของไอโซจีนีที่ต่างกันจากเส้นโค้ง $E$.
การศึกษาโครงสร้างของ $p$-torsion กลุ่มย่อยเมื่อ $p$ เป็นลักษณะเฉพาะของสนาม (เหมือนที่คุณเรียกว่า $k$ - ฉันสงสัยว่าคุณเขียน $คิว$ และ $k$ ผิดทาง) ยังจำแนกเส้นโค้งวงรีออกเป็นเส้นโค้ง "สามัญ" และ "เหนือเอกพจน์"
สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูที่ Silverman's "The Arithmetic of Elliptic Curves" ส่วนที่ III ข้อปฏิบัติ 6.4
โครงสร้างนี้ก็มีความสำคัญอย่างยิ่งเช่นกัน ข้อมูลอ้างอิงที่ดีสำหรับข้อมูลเพิ่มเติมในพื้นที่นี้คือ "การจับคู่สำหรับผู้เริ่มต้น" ของ Craig Costello (ดูบทที่ 4 โดยเฉพาะ)
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
