ฉันมีระบบสมการเชิงเส้น $f_1, \ldots, f_m$ เหนือตัวแปรไบนารี่ $x_1,\ldots,x_n$ ที่ไหน $m$ มีขนาดใหญ่กว่ามาก $n$. เรารู้ว่าสมการทั้งหมดถูกต้องหรือไม่ เราสามารถหาคำตอบได้อย่างง่ายดายโดยใช้การกำจัดแบบเกาส์เซียน ในบรรดา $m$ สมการ 90% สมการถูกต้อง สำหรับส่วนที่เหลืออีก 10% เงื่อนไขคงที่จะมีการเปลี่ยนแปลง ถ้าพจน์ค่าคงที่จริงเป็น 0 จะได้ 1 เป็นต้น เราสามารถแก้ระบบในเวลาพหุนามได้หรือไม่? แทนที่จะเป็น 90% ถ้าเป็น 99% เราสามารถแก้โจทย์ในเวลาพหุนามได้หรือไม่?
ปัญหา Learning Parity with Noise (LPN) มีดังต่อไปนี้
อนุญาต $\vec s\in\mathbb{F}_2^n$ เป็นความลับที่แน่นอนและ $\mathcal{O}_{\vec s}$ เป็นออราเคิลที่สุ่มตัวอย่าง $\vec a_i\gets \mathcal{U}(\mathbb{F}_2^n)$, $e_i \gets \mathsf{เบิร์น}(\tau)$, และผลตอบแทน $(\vec a_i, \langle \vec a_i, \vec s\rangle + e_i)$
ปัญหา (การค้นหา) LPN คือให้การเข้าถึงการสืบค้นไปยัง oracle $\mathcal{O}_{\vec s}$เพื่อกู้คืนความลับ $\vec s$.
หากคุณจำกัดขอบเขตของแบบสอบถาม $m$ กี่ครั้งที่คุณโทร $\mathcal{O}_{\vec s}$ปัญหาคือปัญหาที่คุณสนใจ
เมื่อมีอัตราเสียงรบกวน $\tau$ เป็นค่าคงที่ (เป็นฟังก์ชันของ $n$) iirc ความซับซ้อนที่รู้จักกันดีที่สุดสำหรับการแก้ LPN คืออัลกอริทึม Blum, Kalai, Wasserman (BKW) ซึ่งทำงานในเวลา หน่วยความจำ และความซับซ้อนของตัวอย่าง $2^{O(n/\log n)}$. ดังนั้นเราจึงไม่ควรคาดหวังความซับซ้อนแบบหลายเวลา
แม้ว่าจะมีขนาดเล็กพอ $p$ สถานการณ์เป็นไปอย่างราบรื่น หากต้องการอ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ โปรดดูที่ LPN ถอดรหัส. ฉันได้รวมรูปภาพของเวลาทำงานของอัลกอริทึม LPN ต่างๆ ไว้ด้านล่าง ที่นี่, $\tau \ใน [0, 1/2]$ คือ "อัตราการรบกวน" และเขียนได้เป็น $\tau = \นาที(p, 1-p)$ ในสัญกรณ์ของคุณ
โปรดทราบว่าสำหรับ $p = 0.99$เรามีสิ่งนั้น $\tau = 1 / 100$. จากนั้นทฤษฎีบทที่ 5 ของบทความที่เชื่อมโยงจะแก้ LPN ด้วยความซับซ้อนของเวลา/การสืบค้น
$$\tilde{\Theta}\left(\left(\frac{1}{(1-\tau)^n}\right)^{\frac{1}{1+\log\left(\frac{ 1}{1-\tau}\right)}}\right).$$
สิ่งนี้ทำให้เวลา / ความซับซ้อนของแบบสอบถาม $\ประมาณ (100/99)^{\frac{n}{1+\log(100/99)}}$ซึ่งแม้ว่าจะไม่ใช่เวลาพหุนาม แต่ก็ควรจะค่อนข้างเหมาะสมสำหรับขนาดปานกลาง $n$.
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
