คำถามแบ่งปันความลับ

ฉันต้องการถามคำถามสองสามข้อเกี่ยวกับแผนการแบ่งปันความลับของ Shamir และ เริ่มต้นด้วย ฉันเริ่มต้นด้วยทฤษฎีบทถัดไปที่กำหนดสัญชาตญาณของทฤษฎีบททั้งหมด

$\textbf{ทฤษฎีบท:}$ อนุญาต $p$ เป็นนายกรัฐมนตรีและปล่อยให้ $\{(x_1,y_1), . . . ,(x_{t+1},y_{t+1})\}\subseteq\mathbb{Z}_p$ เพื่อเป็นเซตของจุดที่ $x_i$ ค่าแตกต่างกันทั้งหมด แล้วมีระดับที่ไม่ซ้ำกัน-$t$ พหุนาม $f$ ด้วยค่าสัมประสิทธิ์จาก $\mathbb{Z}_p$ ที่ตอบสนอง $y_i \equiv_p f(x_i)$ สำหรับทุกอย่าง $i$ (ฉันจะเพิ่มทฤษฎีบทที่ $s=f(0)$).

อย่างที่เราทราบกันดีอยู่แล้วใน $k$ ออกจาก $n$ แผนการแบ่งปันความลับ ตัวแทนแต่ละคนจะแบ่งความลับออกมา $n$ แต่เพียงบางส่วนเท่านั้น $k=t+1$ ส่วน (ของพหุนามดีกรี $t$) จำเป็นถ้าเราต้องการคำนวณความลับ สมมติว่า $f$ เป็นฟังก์ชันพหุนามเช่นนั้น

$$f(x)=a_tx^t+a_{t-1}x^{t-1}+\cdots+a_1x+a_0=s+\sum_{i=1}^ta_ix^i,\quad\text{ เช่น $y_i \equiv_p f(x_i)$ และ $s=f(0)$}\quad (1)$$

1. เมื่อเราพูดว่าเจ้ามือแบ่งปันความลับ หมายความว่าผู้เล่นทุกคนรับคู่ของ $(x_i,ฉ(x_i))$ ดังนั้น $y_i \equiv_p f(x_i)$ จาก $n$- คู่กล่าวคือ $i=1,2,3...,n$? หากเรามีคู่ของจุดที่ทฤษฎีบทต้องการเพื่อสร้างฟังก์ชันพหุนาม $(1)$ เกิดอะไรขึ้นกับพวกเขาที่เหลือ? ฉันไม่เข้าใจ
2. ทั้งหมดนี้ $t+1$ คู่จะถูกเลือกแบบสุ่มเพื่อสร้างความลับในขั้นตอนการสร้างใหม่หรือสมรู้ร่วมคิด? ใครก็ได้แสดงสูตรทางคณิตศาสตร์ที่เป็นประเด็นให้ที $f$ ถูกเลือกให้สร้างใหม่ $s$ ตามทฤษฎีบท?

ถ้าคุณต้องการ $k$ ผู้ใช้สามารถสร้างใหม่ได้ $s$ และไม่มีผู้ใช้จำนวนน้อยที่จะสามารถเรียนรู้อะไรเกี่ยวกับความลับได้ คุณต้องมีพหุนาม $f$ ของปริญญา $k-1.$

เจ้ามือให้หนึ่งหุ้น $(x_i,ฉ(x_i))$ ให้กับผู้ใช้ $ผม,$ สำหรับ $i=1,2,\ldots,n$.

นั่นคือทั้งหมดที่ผู้ใช้ได้รับ ไม่สำคัญว่าผู้ใช้รายใดจะได้รับส่วนแบ่งเท่าใด

ตราบเท่าที $p-1\geq n,$ $n$ สามารถรองรับผู้ใช้ได้ อนุญาต $S=\{x_1,\ldots,x_n\}$ เป็นจุดที่กำหนดหุ้นที่ใช้อยู่ในปัจจุบัน

"หุ้นที่เหลือ" สามารถใช้ในภายหลังได้หากมีคนใหม่เข้าร่วม ดังนั้นจึงไม่ควรมี $p$ ใหญ่กว่าอย่างประเมินค่ามิได้ $n,$ จำนวนผู้ใช้ปัจจุบัน

โปรดทราบว่าเราถือว่าดีลเลอร์เป็นบุคคลที่สามที่เชื่อถือได้ และผู้ใช้จะจัดหาส่วนแบ่งที่ถูกต้องเมื่อถามโดยดีลเลอร์ มิฉะนั้นสิ่งต่างๆ จะไม่ทำงาน และจำเป็นต้องมีแผนที่ซับซ้อนกว่านี้

นอกจากนี้ยังใช้ในกรณีที่ $k$ ผู้ใช้สามารถรวมตัวกันเพื่อสร้างใหม่ได้เอง พวกเขาต้องไม่โกหกเกี่ยวกับส่วนแบ่งของพวกเขา และหากว่ากันตามตรง หนึ่ง ของ $k$ ผู้ใช้ไม่ซื่อสัตย์ เขา/เธอสามารถเรียนรู้ส่วนแบ่งของผู้ใช้ที่เหลือ ซึ่งหมายความว่าส่วนที่เหลือไม่สามารถคำนวณความลับได้อย่างถูกต้อง แต่เขา/เธอสามารถหากส่วนที่เหลือ $k-1$ ผู้ใช้มีความซื่อสัตย์

แม้ว่าฉันจะไม่แน่ใจในเรื่องนี้และนี่ไม่ใช่คำตอบที่สมบูรณ์ และฉันหวังว่าถ้าใครเห็นสิ่งที่ฉันเขียน เขา/เธอสามารถตรวจสอบได้ ถ้าผู้เล่น $n$, $(ก,น)$ โครงการแบ่งปันความลับหมายความว่าฉันจะแยก $s$ ใน $n$ ส่วนที่เป็นพหุนาม $f$ เป็นฟังก์ชันพหุนามของดีกรี $t$ ที่ใช้เป็นอินพุต $s$ และ $t$ และด้วยกระบวนการ $y_i\equiv_p f(x_i)$ ให้กลับ t+1 คู่ ในเงื่อนไขที่เท่าเทียมกัน

$$\left\{f(s,t)|\text{$s=f(0)$ และ $y_i\equiv_p f(x_i)$ สำหรับ $i=\{1,2,...,t+ 1\}$}\right\}$$

แต่ส่วนที่แตกออกอีกสามส่วนที่เหลือของ $s$ ซึ่งถือว่าเป็น $j=n-(t+1)$ ที่ไหน $t<2n-1$ ฉันเข้าใจแล้วว่าพวกเขาใช้อย่างไร ฉันหมายความว่ามันมีเหตุผลเบื้องหลัง...ที่ฉันไม่สามารถเข้าใจได้....