ในโจทย์เกี่ยวกับวิธีการแยกตัวประกอบแบบ Pollard p-1 โดยที่ $n=pq$. เราเลือกฐานสุ่ม $a$ และเลขชี้กำลัง $B$ที่ซึ่งหวังว่า $p-1$ มีตัวประกอบเฉพาะเพียงเล็กน้อย และถ้าเป็นเช่นนั้น เราหวังว่าจะประมาณการได้ $p = \gcd(a^B-1,n)$.
เราต้องการประมาณความน่าจะเป็นสำหรับเลขยกกำลังที่กำหนด $B$ฐานที่เลือกแบบสุ่ม $a$ ตอบสนองสิ่งนั้น $p$ แบ่ง $a^B-1$ และ $คิว$ ไม่แบ่งแยก $a^B-1$. เราถือว่าการแยกตัวประกอบเฉพาะของ $p-1,q-1,\text{ และ } B$ เป็นที่รู้จัก. ฉันจะประเมินความน่าจะเป็นของความสำเร็จได้อย่างไร ขอขอบคุณ.
เดอะ $p-1$ เมธอดทำงานตามคำนิยาม เมื่อใดก็ตามที่ คำสั่งคูณ ของ $a$ โมดูโล $p$ เป็นตัวหารของ $B$. ถ้า $B$ เป็นทวีคูณของ $p-1$นั่นคือลำดับการคูณสูงสุดที่เป็นไปได้ของ $a$, ความน่าจะเป็นคือ $1$.
เรามีความกังวลแล้วกับกรณีที่ $B$ ทำ ไม่ มีตัวหารทุกตัวของ $p-1$. หากไม่มีเลย ความน่าจะเป็นคือ $0$.
ความท้าทายที่สำคัญคือการมีตัวเลข $d$ สอดคล้องกับปัจจัยของ $p-1$ หายไปจาก $B$เพื่อนับจำนวนองค์ประกอบของ $\mathbb{F}_p^{\ast}$ คำสั่งของใคร $(p-1)/d$ หรือตัวหารใดๆ องค์ประกอบเหล่านั้นคือองค์ประกอบที่ปัจจัยที่ขาดหายไปจากลำดับไม่ส่งผลต่อความสำเร็จของการแยกตัวประกอบ ถ้า $d=1$, จำนวนองค์ประกอบคือ $p-1$นั่นคือช่วงทั้งหมด ถ้า $d = 2$, จำนวนนี้เป็นจำนวนขององค์ประกอบเช่นนั้น $a^{(p-1)/2} = 1$นั่นคือจำนวนของ สารตกค้างกำลังสอง โมดูโล $p$ (ไม่รวม 0) ซึ่งจะเป็น $(p-1)/2$.
โดยทั่วไปตั้งแต่ $\mathbb{F}_p^{\ast}$ เป็นวัฏจักร ทุกองค์ประกอบสามารถแสดงเป็น $g^e$, สำหรับบางคน องค์ประกอบดั้งเดิม $g$ และเลขยกกำลัง $e$. เป้าหมายของเราคือการนับจำนวนวิธีแก้ปัญหา $e$ ถึง $$ g^{e(p-1)/d} = 1 \pmod{p}\,, $$ หรืออีกนัยหนึ่ง $$ จ(p-1)/d = 0 \pmod{p-1}\,, $$ ที่เราเห็นคือจำนวนทวีคูณของ $d$ จนถึง $p-1$, เช่น., $\frac{p-1}{d}$.
อนุญาต $d$ เป็นผลผลิตจากปัจจัยของ $p-1$ นั่น $B$ ไม่มี เช่น $d = \frac{p-1}{\gcd(p-1, B)}$. จากนั้นความน่าจะเป็นของลำดับของการสุ่มเลือก $a$ แยก $n$ มอบให้โดย $$ \frac{(p-1)/d}{p-1} = \frac{1}{d}\,. $$
ตัวอย่างเช่นสมมติว่า $p = 15554690395797258751$. ตอนนี้สมมติว่า $B$ ประกอบด้วยปัจจัยทั้งหมดของ $p-1 = 2\cdot 3 \cdot 5^4 \cdot 11 \cdot 1021 \cdot 25013 \cdot 14765423$ ยกเว้น $2$. แล้วความน่าจะเป็นนั้น $p-1$ งานแยกตัวประกอบคือ $1/2$. ถ้า $B$ ในทางกลับกันต่ำเกินไปและไม่รวม $14765423$ซึ่งเป็นกรณีที่เป็นไปได้มากกว่า ความน่าจะเป็นของการแยกตัวประกอบจะกลายเป็น $1/14765423$.
สำหรับ $q-1$ ใช้ข้อพิจารณาเดียวกัน อย่างไรก็ตาม เมื่อพิจารณาทั้งสองอย่างแล้ว $p-1$ และ $q-1$ ในเวลาเดียวกัน เราต้องลบกรณีที่ทั้งคู่ประสบความสำเร็จ ซึ่งในกรณีนี้จะไม่มีการแยกตัวประกอบ เหมือนข้างบน สมมุติว่า $d_1$ เป็นสิ่งที่ขาดหายไป $p-1$ ปัจจัยจาก $B$, และ $d_2$ พวกที่มาจาก $q-1$. จากนั้นเรามีโอกาสที่จะประสบความสำเร็จ $$ \frac{1}{d_1}\left(1 - \frac{1}{d_2}\right) + \frac{1}{d_2}\left(1 - \frac{1}{d_1}\right) = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} - \frac{2}{d_1d_2}\,, $$ นั่นคือ, $p-1$ ประสบความสำเร็จและ $q-1$ ล้มเหลวหรือ $q-1$ ประสบความสำเร็จและ $p-1$ ล้มเหลว
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
