ความสำคัญของคู่ใน RLWE

ในฟิลด์จำนวนเกี่ยวกับพีชคณิต อุดมคติ $I$ ในวงแหวนของจำนวนเต็ม $\คณิตศาสตร์แคล{O}_K$ มีคู่ $I^\vee = \{x\in\mathcal{O}_K\text{ : }T_{K/\mathbb{Q}}(xy)\in\mathbb{Z}\text{ สำหรับทั้งหมด }y\ ใน I\}$, ที่ไหน $T_{K/\mathbb{Q}}(\cdot)$ เป็นการติดตามฟิลด์ ตาข่าย $\mathcal{L}$ ใน $\mathbb{R}^n$ มีคู่ $\mathcal{L}^\ast = \{x\in\mathbb{R}^n\text{ : }\langle x,y\rangle\in\mathbb{Z}\text{ สำหรับ }y\in ทั้งหมด \mathcal{L}\}$, ที่ไหน $\langle\cdot,\cdot \rangle$ เป็นสินค้าภายใน จากหน้า 14 ของ กระดาษ RLWE, ที่ไหน $\sigma$ คือการฝังแบบบัญญัติและ $\mathcal{L}\subset K$:

ไม่ยากที่จะเห็นว่าภายใต้การฝังแบบบัญญัติ $\mathcal{L}^{\vee}$ ฝังเป็นคอนจูเกตเชิงซ้อนของแลตทิซคู่ นั่นคือ $\sigma\left(\mathcal{L}^{\vee}\right)=\overline{\sigma(\mathcal{L})^{*}}$. นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่า $\operatorname{Tr}(x y)=\sum_{i} \sigma_{i}(x) \sigma_{i}(y)=\langle\sigma(x), \overline{\sigma(y)}\ เรนจ์$.

คำถามของฉันคือ: ทำไมอุดมคติแบบคู่ $I^\vee$ ใช้ใน RLWE? เป็นเพราะการปรากฏตัวของการแปลงฟูริเยร์ควอนตัมในการพิสูจน์บทแทรก 3.14 ของ กระดาษ LWE ต้นฉบับ? หรือว่าเล็มมา 4.7 ของ ร.ล (การลดจาก BDD เป็น RLWE) ถูกต้องหรือไม่ หรือเพราะสาเหตุอื่น?