ลำดับของกลุ่มย่อยเส้นโค้งวงรีเมื่อเส้นโค้งมีจุด (0,0)

ปัญหาคือเมื่อเราลดสมการเส้นโค้งลง $y^2=x^3+7$ โมดูโล่ 7 เราจะได้สมการ $y^2=x^3$ ซึ่งไม่นับเป็นเส้นโค้งวงรี คำศัพท์ทางเทคนิคสำหรับสิ่งนี้คือเส้นโค้งตรรกยะ $y^2=x^3+7$ มี "การลดลงที่ไม่ดี" ที่ Prime 7

สาเหตุที่เส้นโค้งของรูปแบบ $y^2=x^3$ ไม่ใช่เส้นโค้งวงรีเนื่องจากไม่ "เรียบ" ซึ่งหมายความว่าพวกเขามีความพิเศษ จุดเอกพจน์ ที่ไม่ประพฤติดี พูดอย่างคร่าว ๆ นี่หมายความว่าเส้นสัมผัสที่จุดนั้นไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างดี (ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งหมายถึงกฎการเสแสร้งบนเส้นโค้งไม่สมเหตุสมผลที่จุดนั้น) ในกรณีนี้จุดเอกพจน์คือ $(0,0)$ ซึ่งเป็น ยอด. การลดลง (ไม่ดี) ของเส้นโค้งประเภทนี้เรียกว่าการลดลงแบบบวกเพราะมีกฎกลุ่มบนจุดที่ไม่ใช่เอกพจน์ แต่มันเหมือนกับกลุ่มการบวกของเขตข้อมูลจำกัด ในกรณีนี้ กลุ่มจะเหมือนกับการบวกโมดูโล 7 ไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มนั้นง่าย: $t\neq 0$ จำนวนเต็ม mod 7 ไปที่จุด $(t^{-2},t^{-3})\mod 7$ และ 0 ไปยังจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด ในทำนองเดียวกันแผนที่ผกผันส่งจุด $(x,y)$ เป็นจำนวนเต็ม $x/y\mod 7$.

สำหรับเรื่องราวที่ค่อนข้างอ่อนโยนของกฎหมายกลุ่มเกี่ยวกับลูกบาศก์เอกพจน์ (ไม่เรียบ) ฉันขอแนะนำบทที่ 9 ของ "นิทานวงรี" โดย Ash and Gross ซึ่งเป็นเรื่องง่ายมากสำหรับผู้อ่านที่มีพื้นฐานทางเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตเพียงเล็กน้อย