ฟังก์ชันบนเส้นหรือเส้นโค้งคืออะไร?

สำหรับจุดประสงค์ของเส้นโค้งวงรีและการจับคู่กับพิกัดใกล้เคียง ฟังก์ชันคือฟังก์ชันที่มีเหตุผล (อัตราส่วนของพหุนามสองตัว) ในตัวแปรสองตัว $X$ และ $Y$ ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ในฟิลด์ที่เข้ากันได้ เส้นโค้งคือชุดของจุดที่ฟังก์ชันเฉพาะมีค่าเป็นศูนย์ เส้นเป็นเส้นโค้งโดยที่ฟังก์ชันพื้นฐานเป็นพหุนามของดีกรีทั้งหมด 1 ฟังก์ชันบนเส้นโค้ง (โดยปกติแล้ว เส้นโค้งถูกกำหนดโดยฟังก์ชันอื่น) คือเซตของค่าที่ฟังก์ชันใช้กับจุดของเส้นโค้ง เช่น ค่าของฟังก์ชัน ที่ตำแหน่งที่ฟังก์ชันอื่นเป็นศูนย์

ตัวอย่างเช่น หากเราทำงานเกี่ยวกับจำนวนตรรกยะและพิจารณาฟังก์ชัน $C(X,Y)=Y^2-X^3+X-1$. สิ่งนี้กำหนดเส้นโค้งวงรี $E:C(X,Y)=0$ ซึ่งเราอาจเขียนว่า $E:Y^2=X^3-X+1$. พิจารณาฟังก์ชั่นด้วย $L(X,Y)=2X-Y-1$สิ่งนี้กำหนดบรรทัด $\ell:L(X,Y)=0$ ซึ่งเรามักจะเขียน $\ell:Y=2X-1$. แม้ว่าฟังก์ชันจะถูกกำหนดไว้สำหรับค่าตรรกยะทั้งหมดของ $X$ และ $Y$เราสามารถเชี่ยวชาญกับค่าที่อยู่บนเส้นโค้งได้ ฟังก์ชั่น $C$ บนทางโค้ง $E$ เป็นศูนย์ทุกที่ แต่ฟังก์ชัน $L$ รับค่าที่น่าสนใจมากขึ้น พิจารณา $L$ ประเมินได้ตรงจุด $(5,-11)$ ซึ่งอยู่บน $E$. นี่คือ 20 เช่นเดียวกัน เราพูดถึงฟังก์ชันได้ $C$ บน "ทางโค้ง" $\ell$ เช่น. ถ้าเราเอาประเด็น $(7,13)$ ซึ่งอยู่บน $\ell$ ที่เราเห็น $C(7,13)=-168$.

เห็นได้ชัดว่าเราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับฟังก์ชันต่างๆ มากมายที่กำหนดไว้ $E$ และไม่ใช่แค่ $L$.

มีความสัมพันธ์ที่น่าสนใจระหว่างฟังก์ชัน $f$ บนเส้นโค้งที่กำหนดโดยฟังก์ชัน $g$ และฟังก์ชั่น $g$ บนเส้นโค้งที่กำหนดโดยฟังก์ชัน $f$. สิ่งเหล่านี้เริ่มต้นด้วยการสังเกตว่าเลขศูนย์ถูกแบ่งปัน โดยเฉพาะเลขศูนย์ของ $L$ บน $E$ เป็น $(0,-1)$, $(1,1)$, และ $(3,5)$ ซึ่งเป็นเลขศูนย์ของ $C$ บน $\ell$.