สำหรับคำถามนี้ ฉันหมายถึงการคูณ BGW โดย Gennaro et al (PDF ที่นี่). การคูณอธิบายไว้ในหน้าที่ 4 (อีกแหล่งหนึ่งสำหรับฉันคือ "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับระบบคอมพิวเตอร์หลายฝ่ายที่ปลอดภัย" หน้า 43-44)
สรุปขั้นตอนการคูณ BGW: ในการคูณค่าลับ 2 ค่า $\alpha$ และ $\เบต้า$ ของผู้เล่นทุกคน $P_i$ ต้องมีส่วนแบ่ง $f_{\alpha}(i)$ และ $f_{\beta}(i)$ ที่ไหน $f_{\alpha}$ และ $f_{\beta}$ เป็นพหุนามดีกรีสุ่มจากการแบ่งปันความลับของ Shamir ตอนนี้ผู้เล่นทุกคน $P_i$ คำนวณ $f_{\alpha}(i) \cdot f_{\beta}$ และส่งหุ้นมูลค่านี้ $h_i(ญ)$ สร้างขึ้นด้วยพหุนามดีกรีสุ่ม t $h_i$ (ดังนั้น $h_i(0) = (f_{\alpha} \cdot f_{\beta})(i)$) ชั้นบนสุด $P_j$ สำหรับ $1 \le j \le n$.
ถัดไป บทความจากด้านบนจะอธิบายว่าผู้เล่นจะได้รับส่วนแบ่งของมูลค่าแบบสุ่มได้อย่างไร $\alpha \cdot \beta$ (เพื่อให้พวกเขาสามารถสร้างผลลัพธ์ของการคูณด้วยการแบ่งปันเหล่านี้ได้): ผู้เล่นทุกคน $P_i$ คำนวณค่า $H(i)$ จากดีกรี t พหุนาม $H$ ซึ่งกำหนดเป็น:
$$H(x) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i h_i(x)$$
($the \lambda_i$s คือค่าสัมประสิทธิ์ลากรองจ์ที่เหมาะสม)
$H$ เป็นพหุนามแบบสุ่มที่มี
$$H(0) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i h_i(0) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i (f_{\alpha} \cdot f_{\beta })(i) = (f_{\alpha} \cdot f_{\beta})(0) = \alpha \cdot \beta$$
คำถามของฉัน: H(x) มีดีกรีเป็น t จริงหรือ? มันใหญ่กว่านี้ไม่ได้หรือเพราะ $n$ คะแนนจาก แตกต่าง องศา t พหุนาม $h_i$ สำหรับ $1 \le ฉัน \le n$ ใช้สำหรับการแก้ไข? มักจะเป็นที่ถกเถียงกันอยู่ว่าการดำเนินการเชิงเส้นบน $(เ,n)$ หุ้นที่ใช้ร่วมกันส่งผลให้ใหม่ $(เ,n)$ หุ้นและเนื่องจากการ $h_i$ ฟังก์ชั่นมีระดับ $t$ การผสมค่าเชิงเส้น $h_i{j}$ สำหรับ $1 \le ฉัน \le ฉัน$ น่าจะส่งผลให้ $(เ,n)$ หุ้นอีกด้วย สถานการณ์นี้ยังมีอยู่หรือไม่ เนื่องจากเรารวมค่าจากระดับที่แตกต่างกันเสมอ $t$ พหุนามเหมือนกัน $x$ ค่า?
คำถามอื่น: ยังมีข้อสังเกตว่า $t$ จะต้องเป็นเช่นนั้น $2t+1 \le n$. สิ่งนี้จำเป็นจริงๆหรือ? จะไม่ $t+1 \le n$ เพียงพอเพราะ $H(x)$ คือปริญญา $t$ อย่างไรก็ตาม หรือข้อมูลจากหุ้น 2t+1 จำเป็นต่อการสร้างอย่างถูกต้องหรือไม่ $H(x)$? (สมมติฐานของฉันคือถ้าไม่มี $2t+1$ ค่าสัมประสิทธิ์ลากรองจ์ $\แลมบ์ดา_i$, $H(0)$ จะไม่เป็น $\alpha \cdot \beta$)
หน้า "บทนำเชิงปฏิบัติ" 44 บอกว่าเฉพาะกับ $2t+1 \le n$ ผู้เล่นมีข้อมูลเพียงพอในการกำหนดค่า $(f_{\alpha} \cdot f_{\beta})(0)$. ทำไมถึงเป็นกรณีนี้?
สำหรับคำถามแรกของคุณ: $H(x)$ มีระดับมากที่สุด $t$ โดยมีเงื่อนไขว่าผู้เล่นสร้าง $h_i$ ของปริญญา $t$. เดอะ $\แลมบ์ดา_i$ เป็นค่าคงที่ ดังนั้นจึงเป็นการรวมเชิงเส้นของพหุนามดีกรี $t$ และในระดับมากที่สุด $t$.
สำหรับคำถามที่สองของคุณ: ใช่ มันจำเป็น ในการคูณหุ้น กลุ่มสร้างระดับตามเจตนา $2t$ พหุนามของผลิตภัณฑ์ $q(x)=f_\alpha(x)\cdot f_\beta(x)$ กับ $2t+1$ ค่าสัมประสิทธิ์ ผู้เล่น $i$ รู้ค่าของพหุนามเชิงอนุพันธ์นี้ $q(i)$และเรารู้ $q(0)$ สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของ $n$ ของสิ่งเหล่านี้โดยการยกเลิกการมีส่วนร่วมของค่าสัมประสิทธิ์ระดับที่สูงขึ้น เราแก้ไขระบบต่อไปนี้โดยเฉพาะสำหรับ $\{\lambda_i:1\le i\le n\}$ $$\left(\begin{เมทริกซ์} n^{2t} & (n-1)^{2t} & (n-2)^{2t} & \ldots & 2^{2t} & 1\ n^{2t-1} & (n-1)^{2t-1} & (n-2)^{2t-1} & \ldots & 2^{2t-1}& 1\ n^{2t-2} & (n-1)^{2t-2} & (n-2)^{2t-2} & \ldots & 2^{2t-2}& 1\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ n & (n-1) & (n-2) & \ldots & 2 & 1\ 1 & 1 & 1 & \จุด & 1 & 1\ \end{matrix}\right)\left(\begin{matrix} \lambda_{n}\lambda_{n-1}\lambda_{n-2}\vdots\lambda_2\lambda_1\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 0\0\0\vdots\0\1\end{matrix}\right) $$ และสรุปได้ว่าสำหรับ $\แลมบ์ดา_i$ ที่เรากู้คืน $\sum_i\lambda_iq(i)=q(0)$. เพื่อให้ละลายได้ ระบบนี้ต้องมีคอลัมน์อย่างน้อยเท่ากับแถว $n\ge 2t+1$. โปรดทราบว่าเราสามารถระบุ $n-(2t+1)$ ของ $\แลมบ์ดา_i$ ให้เป็นศูนย์และยังมีระบบที่แก้ไขได้ ด้วยการชักนำผู้เล่นด้วย $\lambda_i\neq 0$ เพื่อทำหน้าที่เป็นตัวแทนจำหน่ายเพื่อแบ่งปันออกไป $q(i)$ โดยใช้ปริญญา $t$ พหุนาม $h_i(x)$กลุ่มสามารถสร้างตามจินตนาการ $H(x)=\sum\lambda_ih_i(x)$ ซึ่งเป็นปริญญา $t$ พหุนามด้วย $H(0)=q(0)=f_\alpha\cdot f_\beta(0)$.
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
