นี่อาจเป็นคำถามทางคณิตศาสตร์มากกว่า แต่ฉันไม่สามารถหาคำตอบที่เข้าใจง่ายได้
บนเส้นโค้ง EC เหตุใด 2P+2P จึงเท่ากับ P+P+P+P
การดำเนินการเพิ่มเติมดูเหมือนกับคนธรรมดาเป็นลำดับขั้นตอนโดยพลการ ลากเส้นตรงนี้ พลิกพิกัด y และอื่นๆ และการเสแสร้งจุดสองครั้งก็นำมาซึ่งจุดเดียวกัน เป็นเช่นนี้ได้อย่างไร? (การบวกจุดเชื่อมโยงเป็นอย่างไร)
ที่นั่น ทำ มีหลักฐานของการเชื่อมโยงของกฎกลุ่มเส้นโค้งวงรีตามคำจำกัดความทางเรขาคณิต (ร่วมกับผลลัพธ์บางอย่างในเรขาคณิตเชิงโครง) แต่สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย แคสเซลส์ หนังสือเล่มเล็กบนเส้นโค้งวงรี มีหลักฐานดังกล่าว (และเป็นการแนะนำที่ดีเกี่ยวกับทฤษฎีของเส้นโค้งวงรีโดยทั่วไป ดังนั้นฉันจะแนะนำอย่างแน่นอน)
วิธีการพิสูจน์ความสัมพันธ์ขั้นพื้นฐานที่สุดก็คือการเขียนค่าสัมประสิทธิ์ของ $(P+Q)+R$ และ $P+(Q+R)$ และสังเกตว่ามันเหมือนกัน แต่ฉันเห็นด้วยอย่างยิ่งว่าสิ่งนี้ไม่ได้อธิบายอะไรเลย
มีวิธีการแบบไฮโบรว์มากกว่าที่อธิบายเหตุผลว่าทำไมกฎการบวกจึงมีลักษณะเช่นนั้น แต่ต้องใช้คณิตศาสตร์มากกว่า อาร์กิวเมนต์พื้นฐานมีลักษณะดังนี้: มีกลุ่มบวกที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้งพีชคณิตใดๆ ที่เรียกว่ากลุ่มตัวหารที่มีดีกรีเป็นศูนย์ และจริงๆ แล้วเป็นกลุ่ม “ความหลากหลาย” ในแง่ที่ว่าสามารถแทนได้ด้วยวัตถุทางเรขาคณิต (เรียกว่าพันธุ์จาโคเบียน) ด้วยการดำเนินการกลุ่มที่กำหนดโดยแผนที่เรขาคณิตยิ่งกว่านั้น มิติของวัตถุทางเรขาคณิตนั้นเปลี่ยนสิ่งหนึ่งเป็นสกุล ซึ่งเป็นจำนวน $1$ สำหรับเส้นโค้งวงรี หรือถูกต้องกว่านั้น สำหรับสิ่งที่กลายเป็นเส้นโค้งวงรีเมื่อคุณแก้ไขจุดที่แตกต่าง และเมื่อคุณแก้ไขจุดที่แยกความแตกต่างได้แล้ว ก็จะมีวิธีง่ายๆ ในการแมปจุดใดๆ บนเส้นโค้งกับตัวหารที่มีดีกรีเป็นศูนย์ สิ่งนี้ช่วยให้คุณมีแผนที่ระหว่างเส้นโค้งดั้งเดิมกับจาโคเบียน ซึ่งกลายเป็นไอโซมอร์ฟิซึม ดังนั้นกฎกลุ่มบนเส้นโค้งวงรีดั้งเดิมจึงมาจากกฎธรรมชาติของกลุ่มจาโคเบียน ซึ่งคุณสมบัติของกลุ่มทั้งหมดมีอยู่เล็กน้อย เนื่องจากลักษณะการทำงานของตัวหาร จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าจุดสามจุดรวมกันเป็นศูนย์ ก็ต่อเมื่อจุดเหล่านั้นอยู่บนเส้นตรง ดังนั้นคุณจึงสามารถกู้คืนคำอธิบายทางเรขาคณิตแบบดั้งเดิมได้
การทำให้สิ่งข้างต้นมีความเข้มงวดทั้งหมดต้องใช้เครื่องจักรเรขาคณิตเกี่ยวกับพีชคณิตจำนวนมาก แต่ในแง่หนึ่งก็เป็นวิธีที่ถูกต้องในการดูว่าการเชื่อมโยงมาจากไหน (ในอดีต สิ่งต่าง ๆ เกิดขึ้นด้วยวิธีการวิเคราะห์ที่ขยายกฎการบวกจากฟังก์ชันตรีโกณมิติไปเป็นฟังก์ชันที่เรียกว่า elliptic แต่วิธีการทางประวัติศาสตร์นั้นไม่ได้แมปได้ดีนักกับการตั้งค่าฟิลด์จำกัดที่เราใช้ในการเข้ารหัส)
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
