ปัญหาเกี่ยวกับตัวอย่างกลุ่มลอการิทึม/วงจรแยก... ใครช่วยอธิบายแนวคิดนี้ให้ฉันหน่อยได้ไหม

กลุ่มที่คุณกำลังดูอยู่คือ ทวีคูณ กลุ่มโมดูโล $17$ ซึ่งอำนาจของ $3$ สร้าง. เป็นชุดสำหรับทั่วไป $n$ ไม่รวม $0$ และมักจะเขียนว่า $$ (\mathbb{Z}_n^\ast,\cdot) $$ ที่ไหน $\mathbb{Z}_n^\ast \subseteq \{1,2,\ldots,n-1\}$ สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆ $n\geq 2.$

ถ้า $n=p$ เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วเซตนี้คือทั้งหมดของ $\{1,2,\ldots,p-1\}$ มิฉะนั้นจะเป็นเพียงชุดขององค์ประกอบใน $\mathbb{Z}_n$ ที่ค่อนข้างสำคัญ $n.$ ถ้า $n=p$ เป็นนายกรัฐมนตรีแล้วกลุ่มก็เช่นกัน เป็นวงจร หมายถึงธาตุเดียว $g$ สามารถสร้างสมาชิกทั้งหมดให้เป็นพลังได้ $g^i\pmod p.$

สำหรับตัวอย่างของคุณ $p=17,$ และ $g=3.$

แก้ไข: ถ้า $n$ ไม่ใช่ไพรม์พูด $n=pq$ ที่ไหน $p\neq คิว$ เป็นจำนวนเฉพาะแล้วมี $n/p$ องค์ประกอบใน $\{0,1,\ldots, n-1\}$ ที่หารด้วย $p.$ มี $n/คิว$ องค์ประกอบใน $\{0,1,\ldots, n-1\}$ ที่หารด้วย $คิว$. เนื่องจากศูนย์หารด้วยทั้งคู่จึงได้ $$ n\left(1-\frac{1}{p}\right)\left(1-\frac{1}{q}\right) $$ องค์ประกอบที่ค่อนข้างเฉพาะเจาะจง $n$ ซึ่งเป็นขนาดของกลุ่มคูณ

สำหรับทั่วไป $n$ เรามี $\varphi(n)$ องค์ประกอบในกลุ่มที่ $\varphi(\cdot)$ เป็น ฟังก์ชัน totient ของออยเลอร์