ข้อความ "เราคาดว่าจะผลิต $2^{64.3}$ ตัวเลขก่อนที่เราจะเริ่มทำซ้ำ" จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อเราเชื่อว่า Middle Square แบบ 128 บิตทำงานเหมือนการแมปแบบสุ่มบน $\{0,1\}^{128}$. อย่างไรก็ตาม เราสามารถแสดงได้ว่ามีคุณสมบัติที่ไม่น่าเป็นไปได้สูงสำหรับการแมปแบบสุ่ม
จำได้ว่า Middle Square 128 บิตรักษาสถานะ 128 บิต $S_t$. การอัปเดตทำได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยการยกกำลังสอง $S_t$และรับบิต 64-191 เป็นของใหม่ $S_{t+1}$ เช่น.
$$S_{t+1}=(S_t^2>>64)\%2^{128}.$$
รัฐ $S_t=0$ แสดงถึงจุดคงที่ แม้ว่าการแมปแบบสุ่มมีจุดคงที่ด้วยความน่าจะเป็นคร่าวๆ $(1-1/ครั้ง)$นี่เป็นเรื่องผิดปกติเนื่องจากมีภาพพรีอิมเมจจำนวนมาก หมายเลขใดก็ได้ $S<2^{32}$ จะจับคู่กับ 0 เช่นเดียวกับจำนวนใดๆ $S$ หารด้วย $2^{96}$. ภาพรวมเหล่านี้เพียงอย่างเดียว (อาจมีอื่น ๆ อีก) ทั้งหมด $2^{33}$ เมื่อสำหรับแผนที่สุ่มขนาดใหญ่ เราคาดว่าจำนวนภาพล่วงหน้าจะกระจายปัวซอง(1) ยิ่งกว่านั้นหากเราพิจารณารุ่นก่อนหน้า จำนวนใดๆ $S<2^{64}$ จะจับคู่กับจำนวนที่น้อยกว่าและจำนวนที่น้อยกว่า $2^{63}$ จะถึง 0 ในเวลาน้อยกว่า 6 ขั้นตอน ในทำนองเดียวกันสำหรับจำนวนที่หารด้วย $2^{65}$. สิ่งนี้ให้อย่างน้อย $2^{64}$ สถานะก่อนหน้าเป็น 0 เมื่อแผนที่สุ่มคาดหวัง $2^{64}\sqrt{\pi/8}$ (โดยมีเวลารวมตัวกันไล่เลี่ยกัน). จำนวนสถานะก่อนหน้ายังคงเพิ่มขึ้นเมื่อเราพิจารณาถึงสถานะก่อนหน้าที่เป็นไปได้ของการรับประกันของเรา $2^{64}$ รัฐบรรพบุรุษหากแต่ละคนมี $2^{64}\sqrt{\pi/8}$ รุ่นก่อนเราอาจเห็นสัดส่วนบวกของพื้นที่ของเราเสื่อมลงเป็นสถานะ 0
นอกจากนี้ยังมีพื้นที่ย่อยที่สงวนไว้ของจำนวนที่หารด้วย $2^{64}$ (พื้นที่นี้มีขนาด $2^{63}$) ซึ่งเราอาจคาดหวังให้แสดงสถิติการแมปแบบสุ่มสำหรับพื้นที่ขนาดเล็กกว่า (เช่นความยาวรอบของ $2^{31.5}\sqrt{\pi/8}$). จากนั้นเราจะพิจารณาสิ่งก่อนหน้าสำหรับพื้นที่ย่อยนี้และสร้างความคาดหวังที่แตกต่างอย่างมากจากการแมปแบบสุ่มทั้งหมด
โครงสร้างทั้งหมดนี้ผิดปรกติอย่างมากของการทำแผนที่แบบสุ่ม และเราควรสรุปได้ว่าการทำแผนที่แบบสุ่มไม่ใช่แบบจำลองที่ดีในกรณีนี้