โครงสร้างองค์ประกอบของการเรียงสับเปลี่ยน

ถ้า $P_1, P_2$ เป็นการเรียงสับเปลี่ยนที่จำกัด เราจะพูดอะไรเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้บ้าง $P_3 = P_1 \cdot P_2$? นั่นคือคุณสมบัติใดของ องค์ประกอบ ของการเรียงสับเปลี่ยนสามารถอนุมานได้จากคุณสมบัติของ การเรียงสับเปลี่ยนที่ประกอบด้วย?

เนื่องจากการเรียงสับเปลี่ยนเป็นกลุ่มสำหรับใดๆ $P_2$ และ $P_3$มีอยู่ก $P_1$ ที่เมื่อแต่งด้วย $P_2$ ให้ $P_3$. ดังนั้นจึงมีช่วงขององค์ประกอบครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดของการเรียงสับเปลี่ยน แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าเราไม่สามารถเรียนรู้บางสิ่งเกี่ยวกับโครงสร้างหรือธรรมชาติของมันได้ ตัวอย่างเช่น: หากเราทราบโครงสร้างวัฏจักรของ $P_1$ และ $P_2$เราสามารถเรียนรู้โครงสร้างวัฏจักรของ $P_3$?

หรือ, ถ้า $P_1$ เป็นวัฏจักรอย่างง่าย (นั่นคือ การเปลี่ยนแปลงที่ไม่มีจุดตายตัว) และ $P_2$ เป็นที่ทราบกันว่าช่วงของคืออะไร $P_1 \cdot P_2$?

หรือ, ความสัมพันธ์ระหว่าง $P_1 \cdot P_2$ และ $P_2 \cdot P_1$?

โดยทั่วไป: อะไรคือคุณสมบัติขององค์ประกอบของการเรียงสับเปลี่ยนที่สามารถสรุปได้จากคุณสมบัติของการเรียงสับเปลี่ยนแต่ละรายการ หรือหากคุณโต้แย้งว่าไม่สามารถสรุปคุณสมบัติดังกล่าวได้ โปรดพิสูจน์

หากเราทราบโครงสร้างวัฏจักรของ $P_1$ และ $_2$, เราสามารถเรียนรู้โครงสร้างวัฏจักรของ $_3$?

ไม่ พิจารณากรณีที่ $P_1$ เป็นจุดคงที่ทั้งหมด บาร์ 2 รอบและ $P_2$ มีโครงสร้างเหมือนกัน $P_3$ อาจเป็นตัวตน; มันสามารถประกอบด้วยสองรอบ 2 รอบที่แยกจากกันและจุดคงที่ที่เหลือ อาจเป็น 3 รอบและจุดคงที่ที่เหลือ เราสามารถพูดได้ว่าถ้า $P_1$ และ $P_2$ อยู่ในกลุ่มย่อยเดียวกัน (เช่น การเป็นสมาชิกของกลุ่มสลับสามารถอนุมานได้จากโครงสร้างวัฏจักร) ดังนั้น $P_3$.

ถ้า $P_1$ เป็นวัฏจักรอย่างง่าย (นั่นคือ การเปลี่ยนแปลงที่ไม่มีจุดตายตัว) และ $_2$ เป็นที่ทราบกันว่าช่วงของคืออะไร $_1â _2$?

มันคือการรวมกันของ cosets ขวาของกลุ่มย่อย shift ที่มีจุดตัดกัน $P_2$. สิ่งนี้ใกล้เคียงกับ tautologous แต่ฉันไม่สามารถคิดวิธีที่ดีกว่าในการอธิบายได้

ความสัมพันธ์ระหว่าง $_1â _2$ และ $_2â _1$?

มันเป็นคอนจูเกตโดย $P_2$ (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งมีโครงสร้างวัฏจักรเดียวกัน) อนุญาต $Q=P_1P_2$ ดังนั้น $P_1=QP_2^{-1}$ และ $P_2\cdot P_1=P_2QP_2^{-1}$. $คิว$ มี $n!$ ตัวแทนดังกล่าวมีตัวแทนที่สอดคล้องกับคอนจูเกตใดๆ ที่กำหนด ดังนั้นจึงไม่สามารถอนุมานโครงสร้างเพิ่มเติมได้