ฉันกำลังพยายามศึกษาอัลกอริทึม CSIDH ฉันมีพื้นฐานเกี่ยวกับเส้นโค้งวงรีในระดับเริ่มต้น และฉันได้ติดตามการบรรยายของ Andrew Sutherland (https://math.mit.edu/classes/18.783/2019/lectures.html) เพื่อทำความเข้าใจวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึ่มและการกระทำของกลุ่มคลาส และวิธีที่เราสามารถนำทฤษฎีไปใช้บนเส้นโค้งที่ซับซ้อนไปจนถึงเส้นโค้งบนสนามที่มีขอบเขตจำกัด พื้นฐานทฤษฎีจำนวนของฉันไม่ค่อยดีนัก ดังนั้นนี่อาจเป็นแค่ปัญหาง่ายๆ
ใน CSIDH (หน้า 13) มีการกล่าวถึงว่าเราเป็นอุดมคติหลัก $(l)\mathcal{O}$ (ที่ไหน $\mathcal{O}$ เป็นลำดับในสนามกำลังสองจินตภาพ) แยกออกเป็นสองอุดมคติ $\mathbb{l}$ และ $\mathbb{\overline{l}}$ เช่นเดียวกับใน $(l)\mathcal{O}= \mathbb{l}\mathbb{\overline{l}}$ ที่ไหนด้วย $\mathbb{l}, \mathbb{\overline{l}}$ ถูกสร้างขึ้นโดย $(ล, \pi \น. 1)$.
ฉันได้รับโดยใช้การคูณในอุดมคติ $$ \mathbb{l}\mathbb{\overline{l}} =(l, \pi + 1)(l, \pi -1) = (l^2, l(\pi -1), l(\pi + 1), \pi^2-1) $$ นั่นคือองค์ประกอบ $\alpha \in \mathbb{l}\mathbb{\overline{l}}$ ควรมีแบบฟอร์ม $$ \alpha = al^2+bl(\pi-1)+cl(\pi+1)+d(\pi^2-1), \{a,b,c,d\} \subseteq \mathcal{O } $$ ฉันจะได้รับสิ่งนั้นได้อย่างไร $\alpha = xl$ สำหรับบางคน $x \in \mathcal{O}$? มันเป็นเพียงการทำให้เข้าใจง่ายและการใช้สมมติฐานว่า $\pi^2= 1 \mod l$ (เช่นสมการคุณลักษณะ) อย่างใด หรือมีเหตุผลที่ซับซ้อนกว่านี้?
คำถามอื่นของฉันคือเราจะได้สิ่งนั้นมาจากไหน $\mathbb{l}$, $\mathbb{\overline{l}}$ ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเหล่านั้น?
ขอบคุณล่วงหน้า. นอกจากนี้การชี้ไปที่แหล่งข้อมูลที่ดีก็จะช่วยได้เช่นกัน ฉันได้ค้นหาเอกสารที่อ้างถึง แต่มันยากที่จะหาแหล่งที่ถูกต้อง
ในการตอบคำถามแรกของคุณ: ง่ายๆ แค่นั้นแหละ ปรับปรุงสิ่งที่คุณเขียน ก็เพียงพอแล้วที่จะตรวจสอบสิ่งนั้น $l$ แบ่งเครื่องกำเนิดทั้งสี่: $l^2$, $l(Ï-1)$, $l(Ï+1)$ และ $Ï^2-1$. เห็นได้ชัดสำหรับสามรายการแรก และสำหรับรายการสุดท้าย ให้จำตามความหมาย $Ï^2 = -p$และ CSIDH นั้นบังคับใช้อย่างชัดเจน $l|(พี+1)$. สิ่งนี้พิสูจน์ได้ว่า $(ล) â (ล,Ï-1)(ล,Ï+1)$. หากต้องการพิสูจน์การรวมอื่นๆ โปรดดูด้านล่าง
คำถามที่สองของคุณคือการถามเพื่อพิสูจน์ว่า $l,\bar{l}$ เป็นอุดมคติที่สำคัญ วิธีง่ายๆ ในการดำเนินการดังกล่าวคือการคำนวณบรรทัดฐาน บรรทัดฐานของ $(ล,Ï-1)$ คือ gcd ของบรรทัดฐานขององค์ประกอบ บรรทัดฐานของ $l$ เป็น $l^2$และบรรทัดฐานของ $Ï-1$ เป็น $(Ï-1)(-Ï-1) = p+1$ (คูณด้วยคอนจูเกต) โดยการก่อสร้าง $\gcd(l^2,p+1)=l$, ดังนั้น $(ล,Ï-1)$ มีบรรทัดฐาน $l$. แต่ $l$ เป็นนายกดังนั้น $(ล,Ï-1)$ จะต้องเป็นอุดมคติที่สำคัญ
สรุป คุณรู้อยู่แล้วว่า $l\bar{l}â(ล)$แต่ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าบรรทัดฐานของ LHS และ RHS นั้นเหมือนกัน ดังนั้นจึงจำเป็น $l\bar{l}=(ล)$, ถึงหน่วย.
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
