ระดับของพหุนามนี้มีความสำคัญต่อการบรรลุความรู้เป็นศูนย์หรือไม่? คำถาม PlonK

ฉันกำลังอ่านกระดาษ PlonK และในรอบที่ 1 ของการเรียกร้องเพื่อให้ได้ความรู้เป็นศูนย์โดยการเพิ่มทวีคูณแบบสุ่ม (ของระดับที่หนึ่ง) ของพหุนาม $Z_H = x^n - 1$ ถึงพหุนามลับ

ที่นี่, $H$ เป็นชุดที่มี $n$-th รากของความสามัคคีและอธิบายอย่างเป็นนัยว่า $$H = \{\omega, \dots, \omega^{n-1}, \omega^n = 1\},$$ ที่ไหน $\โอเมก้า$ เป็นแบบดั้งเดิม $n$- รากแห่งความสามัคคี

ดังนั้น การตั้งค่าจะเป็นดังนี้ เรามีพหุนามลับ $s(x)$ ที่เราต้องประเมินในบางจุดแบบสุ่ม $z \in \mathbb{Z}_p$, เริ่ม $z$ และการประเมินผล $s(z)$ ทราบโดยทั่วกัน

เพื่อไม่ให้ความรู้รั่วไหล $s(z)$พวกเขากำหนด: $$s'(x) := (b_1x + b_2)Z_H(x) + s(x),$$ และพวกเขาอ้างว่าเพียงพอแล้วที่จะได้รับความรู้เป็นศูนย์ $s(z)$.

ฉันมีสองคำถาม:

1. ทำไมหลายของ $Z_H(x)$ มีดีกรีหนึ่งและไม่มี เช่น สี่หรือ 69? ในรอบที่ 2 ของ PlonK พวกเขาใช้กลยุทธ์เดียวกัน แต่มีพหุนามดีกรีสองอีกอันหนึ่ง ทำไม
2. ทำไมสิ่งนี้ถึงเป็นจริง? ถ้า $z \ใน H$แล้วชัดเจน $s'(x)$ นำข้อมูลเกี่ยวกับ $s(x)$, เช่น $$s'(z) = s(z).$$