สมมติว่า $F:K\times X\rightarrow X$ เป็นฟังก์ชั่นสำหรับแต่ละคน $k\ ใน K$, การทำแผนที่ $F_{k}:X\ลูกศรขวา X$ กำหนดโดยปล่อยให้ $F_{k}(x)=F(k,x)$ คือการประนีประนอม สมมติว่า $F$ เป็นฟังก์ชันรอบสำหรับฟังก์ชันการเข้ารหัสบางอย่าง เช่น ฟังก์ชันการเข้ารหัสแบบบล็อกหรือฟังก์ชันแฮชการเข้ารหัส อนุญาต $V_{X}$ เป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนที่ประกอบด้วยทูเพิลทั้งหมด $(\alpha_{x})_{x\in X}$ ดังนั้น $\sum_{x\in X}\alpha_{x}=0$. กำหนดการแสดงเชิงเส้นแบบลดทอนไม่ได้ของ $\phi$ กลุ่มการเปลี่ยนแปลง $S_{X}$ บน $V_{X}$ โดยปล่อยให้ $\phi(f)(\alpha_{x})_{x\in X})=(\alpha_{f(x)})_{x\in X}$.
กำหนดการแปลงเชิงเส้น $L_{F}=\sum_{k\in K}\phi(F_{k})$.
ถ้าเรียงสับเปลี่ยน $F_{k}$ จะถูกสุ่มและเลือกอย่างอิสระจากนั้น กฎหมายวงกลม ดูเหมือนว่าจะเป็นการแปลงเชิงเส้น $L_{F}$ดังนั้นค่าลักษณะเฉพาะของ $L_{F}$ ควรกระจายอย่างสม่ำเสมอโดยประมาณบนดิสก์ $\{z\in\mathbb{C}:|z|^{2}\leq |K|\}$และรัศมีสเปกตรัมของ $L_{F}$ ควรอยู่รอบๆ $\sqrt{|K|}$. แน่นอน ในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันรอบ $F_{k}$ ไม่สุ่มสำหรับฟังก์ชันการปัดเศษของบล็อก $F$. ดูเหมือนว่าจะเป็นการดีที่จะลองทำรัศมีสเปกตรัมของ $L_{F}$ ค่อนข้างต่ำเพื่อสร้างตัวแปรสุ่ม $Z_{n}$ เป็นเครื่องแบบบน $X^{2}$ เป็นไปได้ที่ค่าของ $Z_{n}$ เป็นคู่สุ่ม $(x,y)$ ที่ไหน $x$ ถูกเลือกจาก $X$ สม่ำเสมอโดยสุ่มและ $y=F_{k_{1}}\จุด F_{k_{n}}(x)$ สำหรับการเลือกแบบสุ่มและอิสระ $k_{1},\จุด,k_{n}\ใน K$.
ตอนนี้มีบางกรณีที่ $L_{F}$ ไม่มีอำนาจด้วยเหตุผลเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น ถ้า $F(k,x)=k\oบวก g(x)$ เพื่อการเปลี่ยนแปลงบางอย่าง $g$ (เช่นเดียวกับกรณีของ AES) จากนั้น $L_{F}$ ไม่มีอำนาจ เราสามารถรับประกันได้ว่า $L_{F}$ ไม่มีอำนาจสำหรับฟังก์ชันบล็อกรหัส Feistel บางตัว $F$.
มีการคำนวณหรือประมาณรัศมีสเปกตรัมหรือการกระจายของค่าลักษณะเฉพาะของ $L_{F}$ สำหรับฟังก์ชันปัดเศษสำหรับ SHA-256 หรือฟังก์ชันรหัสลับแบบบล็อกสมัยใหม่หรือฟังก์ชันแฮชการเข้ารหัส $F$ ที่ไหน $L_{F}$ ไม่มีอำนาจ?
คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์
$S_{X}$ คือกลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดจาก $X$ ถึง $X$.
ถ้า $V,W$ เป็นสเปซเวกเตอร์ แล้วปล่อยให้ $\text{หอม}(V,W)$ เป็นเซตของการแปลงเชิงเส้นทั้งหมด $L:V\ลูกศรขวา W$. ถ้า $G$ เป็นกลุ่มและ $วี$ เป็นปริภูมิเวกเตอร์ แล้วเป็นตัวแทนเชิงเส้น ของ $G$ บนปริภูมิเวกเตอร์ $วี$ เป็นฟังก์ชัน $\phi:G\rightarrow\text{หน้าแรก}(V,V)$ ดังนั้น $\phi(g)\circ\phi(h)=\phi(gh)$ เมื่อไหร่ก็ตาม $ก,h\ใน G$. เราว่านะ $\phi$ ลดลงไม่ได้ ไม่มีพื้นที่ย่อยที่ไม่สำคัญที่เหมาะสม $W$ ของ $วี$ ดังนั้น $\phi(g)(w)\in W$ เมื่อไหร่ก็ตาม $w\ใน W$.
ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์กำลังสอง แล้วค่าลักษณะเฉพาะของ $A$ เป็นสเกลาร์ $\แลมบ์ดา$ ดังนั้น $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$ สำหรับเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ $\mathbf{x}$.
ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีรายการจริงหรือเชิงซ้อน จากนั้นกำหนดรัศมีสเปกตรัม $\sigma(A)$ ของ $A$ เป็น $$\max\{|\lambda|:\text{$\lambda$ เป็นค่าลักษณะเฉพาะของ $A$}\}.$$
สมมติว่า $K$ เป็นเขตข้อมูลของจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนและ $วี$ เป็นพื้นที่เวกเตอร์เหนือสนาม $K$. บรรทัดฐานบนปริภูมิเวกเตอร์ $วี$ เป็นฟังก์ชัน $\|\cdot\|:V\rightarrow[0,\infty)$ เช่นว่าถ้า $\alpha\in K,\mathbf{x},\mathbf{y}\in V$, แล้ว
$\|\alpha\cdot\mathbf{x}\|=|\alpha|\cdot\|\mathbf{x}\|,$
$\mathbf{x}\neq 0$ ถ้าและถ้า $\|\mathbf{x}\|>0$, และ
$\|\mathbf{x}+\mathbf{y}\|\leq\|\mathbf{x}\|+\|\mathbf{y}\|$.
ปรากฎว่ารัศมีสเปกตรัมอยู่เสมอ $$\sigma(A)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\|A^{n}\|}$$ โดยไม่คำนึงถึงบรรทัดฐานที่เลือก
เราว่าอัน $n\ครั้ง n$ เมทริกซ์ $A$ จะไม่มีอำนาจหากมีคุณสมบัติตรงตามข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:
$A^{n}=0$.
$A^{k}=0$ สำหรับบางคน $k$.
ค่าเฉพาะทั้งหมดของ $A$ เป็น $0$.
รัศมีสเปกตรัมของ $A$ เป็น $0$.
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
