ใน Sage มีฟังก์ชัน: gen_lattice() ที่สามารถสร้างพื้นฐานได้ $$S \in \mathbb{Z}^{m \times m}_q $$ ของตาข่าย $$\Lambda^\bot_q(A)$$, ที่ไหน $$A \in \mathbb{Z}^{n \times m}_q$$ เป็นการสุ่ม
ดังนั้น, $$AS = 0 \pmod q.$$
คำถามคือ มีวิธีการใดบ้างที่สามารถรับเมทริกซ์เพิ่มเติมได้ $$A \in \mathbb{Z}^{n \times m}_q.$$
(กล่าวคืออัลกอริทึม TrapGen ใน AP09.)
ใช่ มันค่อนข้างตรงไปตรงมา ประการแรก ดูเหมือนว่า Sage จะมีสิ่งนี้ในตัว (ดูที่ ธงคู่แม้ว่าฉันจะไม่ได้ทดสอบก็ตาม) ฉันจะอธิบายวิธีดำเนินการ "ทางคณิตศาสตร์" เนื่องจากฉันคิดว่ามีประโยชน์ในเชิงแนวคิดมากกว่า
สำหรับโครงตาข่ายที่มีฐาน $B$เป็นที่รู้จักกันดี (ดู ทฤษฎีบท 2) ที่คู่มีพื้นฐาน:
$$D = B (B^t B)^{-1}$$
เป็นไปตามที่ข้อมูลโค้ดต่อไปนี้:
S = sage.crypto.gen_lattice()
D = S * (S.T * S).ผกผัน()
จะสร้างพื้นฐานที่ต้องการ โปรดทราบว่าพื้นฐานไม่ใช่เมทริกซ์จำนวนเต็มโดยทั่วไป --- สำหรับเมทริกซ์ (สุ่ม) $S$ สร้างขึ้นในการดำเนินการของ sage.crypto.gen_lattice()ฉันเข้าใจว่าสองพื้นฐานคือ:
[ 1/11 0 0 0 -4/11 -3/11 2/11 0]
[ 0 1/11 0 0 -5/11 1/11 -3/11 0]
[ 0 0 1/11 0 0 5/11 -4/11 -5/11]
[ 0 0 0 1/11 -2/11 4/11 4/11 -5/11]
[ 0 0 0 0 1 0 0 0]
[ 0 0 0 0 0 1 0 0]
[ 0 0 0 0 0 0 1 0]
[ 0 0 0 0 0 0 0 1]
พื้นฐาน (เบื้องต้น) ได้รับเลือกให้เป็น $คิว$- สำหรับ $q = 11$. คุณอาจสังเกตได้จากการปรับขนาดสิ่งต่างๆ $q = 11$เราได้เมทริกซ์จำนวนเต็ม สิ่งนี้ถือโดยทั่วไปและสามารถเห็นได้โดยสังเกตว่าก $คิว$- ตาข่าย $L$ ตอบสนอง:
\begin{align*} q\mathbb{Z}^m&\subseteq L\subseteq \mathbb{Z}^m\ \iff (q\mathbb{Z}^m)^*&\supseteq L^* \supseteq \mathbb{Z}^m\ \iff \frac{1}{q}\mathbb{Z}^m&\supseteq L^*\supseteq \mathbb{Z}^m\ \iff \mathbb{Z}^m &\supseteq qL^*\supseteq q\mathbb{Z}^m \end{จัดตำแหน่ง*}
คือว่าถ้า $q\mathbb{Z}^m\subseteq L\subseteq \mathbb{Z}^m$แล้วในขณะที่ตาข่ายคู่ $L^*$ ไม่อาจอยู่ระหว่าง $q\mathbb{Z}^m$ และ $\mathbb{Z}^m$, ปรับขนาด ตาข่ายคู่อยู่เสมอ เรามักจะเห็นสิ่งนี้ในเอกสารเป็นข้อความ:
$$\Lambda_q(A)^* = \frac{1}{q}\Lambda_q^\perp(A)$$
ในความเป็นจริงในสัญกรณ์ของ $\Lambda_q(A)$ และ $\Lambda_q^\perp(A)$, คุณเพียงแค่ขอ, ได้รับพื้นฐานสำหรับ $\Lambda_q(A)$เพื่อสร้างพื้นฐานสำหรับ $\Lambda_q^\perp(A)$.
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
