เหตุใดจึงกำหนดคู่ของโครงตาข่ายในอุดมคติด้วย "Tr" แทนที่จะเป็นผลิตภัณฑ์ภายใน

ในกระดาษ [LPR12]ฉันได้เรียนรู้ว่าโครงตาข่ายในอุดมคติเป็นอุดมคติในฟิลด์จำนวนเชิงพีชคณิต อย่างไรก็ตาม ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมเราถึงกำหนดโครงตาข่ายคู่ของโครงตาข่ายในอุดมคติด้วย $\operatorname{Tr}$: $$ {L}^{\vee}=\{x \in K: \operatorname{Tr}(x {L}) \subseteq \mathbb{Z}\} $$

ฉันหมายถึงรายละเอียดสำหรับฟิลด์จำนวนเชิงพีชคณิตใดๆ $K$มีการฝังที่ฝังลงในช่องว่าง $H$. สำหรับ $K=\mathbb Q[\ซีตา]$, อนุญาต $f\in\mathbb Q$ เป็นพหุนามน้อยที่สุดของ $\ซีต้า$. สมมติ $\ซีต้า$ มี $s_1$ รากจริงและ $s_2$ คู่ของรากที่ซับซ้อน (และ $n=s_1+2s_2$), แล้ว $$ H=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{s_{1}} \times \mathbb{C}^{2 s_{ 2}}: x_{s_{1}+s_{2}+j}=\overline{x_{s_{1}+j}}, \forall j \in\left[s_{2}\right]\right \} \subseteq \mathbb{C}^{n} $$ การฝังทำได้โดยการฝังแบบบัญญัติ $\sigma$ เซนต์. สำหรับใดๆ $\alpha\in K$, $\sigma(\alpha)=(\sigma_i(\alpha))_{i\in[n]}$. นอกจากนี้, $H$ นำไปฝังต่อได้ $\mathbb R^n$ โดยไอโซมอร์ฟิซึม $h$โดยการฝังคอนจูเกตคู่ $(เอ+บี,เอ-บี)$ ถึง $(\sqrt2a,-\sqrt2b)$. (ผู้เขียนกล่าวว่านี่คือรูปทรงเรขาคณิตของโครงตาข่ายในอุดมคติ) จนถึงตอนนี้ดูเหมือนว่าทุกอย่างจะดำเนินไปได้ด้วยดี

อย่างไรก็ตาม สำหรับ $\alpha,\beta\in K$ซึ่งแมปกับ $\sigma(\alpha)=v=(v_i)_{i\in[n]},\sigma(\beta)=w=(w_i)_{i\in[n]}$สินค้าด้านในของ $v$ และ $w$ ถูกกำหนดให้เป็น $$ \langle v,w\rangle=\sum_{i\in [n]} v_i\overline{w_i} $$ ซึ่งเท่ากับ $\langle h(v),h(w)\range$ ใน $\mathbb R^n$.

อย่างไรก็ตาม คำจำกัดความของ dual lattice ของการใช้ขัดแตะในอุดมคติ $\operatorname{Tr}$ แทนสินค้าภายในดังกล่าว เรามี $$ \operatorname{Tr}(\alpha\beta)=\sum_{i\in[n]}\sigma_i(\alpha)\sigma_i(\beta)=\sum_{i\in[n]}v_iw_i $$ ซึ่งดูแตกต่างจากสินค้าด้านใน

สำหรับตัวอย่างทั่วไป ฉันต้องการทำงานร่วมกับ $K=\mathbb Q[i]$. มีการฝังสองแบบ $\sigma_1(a+bi)=a+bi,\sigma_2(a+bi)=a-bi$ ถึง $\mathbb C^2$ดังนั้นการฝังตามรูปแบบบัญญัติจึงเป็น $$ \sigma(a+bi)=(a+bi,a-bi) $$ ทำงานกับโครงตาข่ายในอุดมคติ $(1+2i)\mathbb Z+(-2+i)\mathbb Z$และแมปพื้นฐานกับ $\mathbb R^2$ โดย $h\circ \sigma$, เรามี $L'=h\circ\sigma(L)=(\sqrt2,-2\sqrt2)\mathbb Z+(-2\sqrt2,-\sqrt2 )\mathbb Z$. จากนั้นเราก็ทำการรักษา $L'$ เป็นโครงตาข่ายทั่วไปและคำนวณโครงตาข่ายคู่เป็น $(L')^\ast= (\frac{\sqrt 2}{10},-\frac{\sqrt2}5)\mathbb Z+(-\frac{\sqrt2}5,-\frac{\sqrt 2 }{10})$. หากเราคำนวณแลตทิซคู่ของ $L$ โดย $\operatorname{Tr}$ คำนิยาม ตาข่ายคู่จะเป็น $$ L^\vee=(\frac1{10}-\frac15i)\mathbb Z+(-\frac15-\frac1{10}i)\mathbb Z $$ ที่สามารถฝังลงไปได้ $\mathbb R^2$ เช่น $$ (h\circ\sigma)(L^\vee)=(\frac{\sqrt2}{10},\frac{\sqrt 2}5)\mathbb Z+(-\frac{\sqrt 2}5,\frac {\sqrt 2}{10})\mathbb Z $$ ซึ่งแตกต่างจาก $(L')^\ast$มันจะแทนที่รายการที่สองของเวกเตอร์พื้นฐานด้วยจำนวนตรงข้าม ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? ฉันทำอะไรผิดหรือเปล่า? หรือเป็นอีกมุมมองทางเรขาคณิตของโครงตาข่ายในอุดมคติที่เข้าท่า?

คุณไม่ได้ทำผิดพลาดใดๆ คำตอบโดยตรงสำหรับคำถามของคุณคือมีคำจำกัดความสองคำของ âdualâ ในวรรณกรรม ความหมายหนึ่งสำหรับอุดมคติและอีกความหมายหนึ่งสำหรับโครงร่างเหนือจำนวนเชิงซ้อน พวกมันไม่สอดคล้องกันเล็กน้อย แต่เหมือนกันจนถึงการผันคำกริยาที่ซับซ้อน นี่คือสาเหตุที่รายการที่เกี่ยวข้องกับส่วนที่ซับซ้อนถูกทำให้ไร้ผลในตัวอย่างของคุณ

(กระดาษระบุไว้ที่อื่นในเบื้องต้นว่า $\sigma(I^\vee)$ คือคอนจูเกตเชิงซ้อนของ $\sigma(I)^*$.)

เราใช้คำจำกัดความ "ตามร่องรอย" สำหรับอุดมคติเพราะเป็นธรรมชาติและใช้กันทั่วไปในวิชาคณิตศาสตร์ ทำให้เราใช้ข้อเท็จจริงที่ทราบเกี่ยวกับอุดมคติที่แตกต่างกัน (ร่วม) และไม่ต้องใช้การฝังแบบบัญญัติเพื่อกำหนด