การตรวจสอบความเป็นอิสระของการรวมกันของตัวแปรสุ่มแบบเดียวกันเพื่อใช้บทแทรกซ้อน

คำถามของฉันเป็นคำถามพื้นฐานมาก สมมติ $a_0, a_1, a_2, a_3, a_4, b_0, b_1, b_2, b_3, b_4$ เป็น $10$ ตัวแปรสุ่มแบบสม่ำเสมอจาก $\{0,1\}$ เป็นอิสระจากกัน ขณะนี้มีการแสดงออกของแบบฟอร์ม

1. $a_4b_4 + a_3(b_0 + b_2+1) + b_3(a_0 + a_2 +1) + a_1(b_2 + b_4) + b_1(a_2 +a_4)$
2. $a_2b_0 + a_1b_1 + (a_0 + a_2 +1)b_2$

เราสามารถใช้บทแทรกซ้อนได้หรือไม่? หรืออีกทางหนึ่งคือตัวแปรสุ่ม $a_4b_4, a_3(b_0 + b_2+1), b_3(a_0 + a_2 +1), a_1(b_2 + b_4), b_1(a_2 +a_4)$ อิสระในกรณีที่ 1? ในทำนองเดียวกันคือ $a_2b_0 , a_1b_1 , (a_0 + a_2 +1)b_2$ อิสระในกรณีที่ 2 ?

จะแสดงความเป็นอิสระหรือพึ่งพาได้อย่างไร? ใครก็ได้โปรดช่วยฉันเข้าใจสิ่งเหล่านี้ได้ไหม

ป.ล. - ฉันไม่พบแท็กที่เหมาะสมนอกจากการวิเคราะห์การเข้ารหัสแบบเชิงเส้น ใครก็ตามที่สามารถแท็กคำถามได้ดีกว่านี้ยินดีต้อนรับเสมอ

สำหรับ $2$เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าตัวแปรเหล่านี้เป็นอิสระจากกัน เนื่องจากตัวแปรพื้นฐานแต่ละตัวที่ปรากฏในนิพจน์หนึ่งจะไม่ปรากฏในอีกนิพจน์หนึ่ง

ตัวอย่างเช่น

$\mathbb{P}(a_2b_0=0| a_1b_1=0, b_2(a_0 + a_2 +1)=0) = \mathbb{P}(a_4b_4=0)$.

วิธีที่ดีในการดูสิ่งนี้ ฉันคิดว่าคือการดูเอนโทรปีของหนึ่งในตัวแปรนี้ :

$H (a_2 b_0 |a_1 b_1, b_2(a_0 + a_2 +1) ) \geq H (a_2 b_0 |a_0, a_1, b_1, b_2 ) = H (a_2 b_0 )$.

ความเท่าเทียมกันสุดท้ายมาจากความเป็นอิสระของตัวแปรพื้นฐาน

ดังนั้นเราสามารถอนุมานได้ $H (a_2 b_0 |a_1 b_1, b_2(a_0 + a_2 +1) )= H (a_2 b_0 ) $.

เกี่ยวกับ $1$มันซับซ้อนมากขึ้นเพราะ $b_4, b_2, a_2, a_4$ ปรากฏในมากกว่าหนึ่งนิพจน์

จากนั้นคุณต้องแสดงให้เห็นว่า $a_4, b_4, a_3, (b_0 + b_2), b_3, (a_0 + a_2), a_1 ,(b_2 + b_4), b_1, (a_2 + a_4)$ มีความเป็นอิสระเชิงเส้นใน $\mathbb{F}_2$ (โดยการใช้พีชคณิตเชิงเส้น) คุณจึงสามารถอนุมานได้ว่าตัวแปรเหล่านี้ (ในท้ายที่สุดบวกด้วยค่าคงที่) เป็นอิสระต่อกัน (จากมุมมองของความน่าจะเป็น)

จากนั้นคุณต้องใช้อาร์กิวเมนต์ "ถ้า $X, Y, Z, T$ เป็นอิสระแล้ว $XY$ และ $ZT$ เป็นอิสระ"

แก้ไข : วิธีที่ดีในการดูความเป็นอิสระของตัวแปรเชิงเส้นคือการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ต่อไปนี้ (บรรทัดแรกตรงกับ $a_4$ที่สองถึง $b_4$, ที่สี่ถึง $b_0 + b_2$ฯลฯ) คุณยังสามารถพิสูจน์การสร้างตระกูลเวกเตอร์เหล่านี้ได้ $\mathbb{F}^{10}_p$และอนุมานด้วยจำนวนนับ มันคือฐาน ดังนั้นเวกเตอร์จึงเป็นอิสระต่อกัน :

$\begin{เมทริกซ์} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{เมทริกซ์}$