เหตุใดจึงใช้แฟกทอเรียลในอัลกอริทึม $p - 1$ ของ Pollard

ทฤษฎีบทแฟร์มาต์อยู่เบื้องหลังโครงร่างการแยกตัวประกอบที่สองนี้ ซึ่งเรียกว่าวิธีโพลลาร์ด p-1

• สมมติว่าจำนวนเต็มผสมคี่ n ที่จะแยกตัวประกอบมีตัวหารเฉพาะ n ด้วยคุณสมบัติที่ p-1 เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่ค่อนข้างเล็ก ให้ q เป็นจำนวนเต็มใดๆ ที่ (p-1)|q ตัวอย่างเช่น q สามารถเป็นได้ทั้ง k! หรือตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวก k ตัวแรก โดยที่ค่า k มีค่ามากเพียงพอ เลือก 1<a<p-1
• $${m\equiv a^q \equiv a^{(p-1)j}\equiv 1^j \equiv1(modp)}$$ หมายถึง p | (ม.๑) กองกำลังนี้ ${gcd(m-1,n)>1}$
• แต่สิ่งสำคัญที่ควรทราบคือ ถ้า ${gcd(m-1,n)=1}$จากนั้นควรย้อนกลับไปและเลือกค่าต่าง ๆ ของ a
• วิธีการนี้อาจล้มเหลวหาก q (k!) ไม่ถือว่าใหญ่พอ นั่นคือถ้า p-1 มีตัวประกอบเฉพาะขนาดใหญ่หรือตัวประกอบขนาดเล็กที่เกิดกำลังมาก ดังนั้นจึงเป็นการดีกว่าที่จะเลือก k! แทนที่จะเดาตัวเลขจำนวนมากใหม่ทุกครั้งที่ได้ ${gcd(m-1,n)=1}$ดังนั้นแฟกทอเรียลจึงเป็นตัวเลือกที่ดีกว่า และสามารถเพิ่มความน่าจะเป็นในการค้นหาว่าตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะขนาดใหญ่หรือไม่