ตามบทความ:
https://www.pcg-random.org/posts/too-big-to-fail.html
เมื่อ N ของ Middle Square คือ $2^{128}$ เราสามารถคาดหวังที่จะผลิต $2^{64.3}$ ตัวเลขก่อนที่เราจะเริ่มเห็นการทำซ้ำในตัวสร้าง เพียงพอสำหรับข้อมูลสุ่ม 320 exabytes ซึ่งมากเกินกว่าที่การทดสอบ PractRand ใดๆ จะใช้
นี่เป็นขนาดของเส้นทางที่เพียงพอในการไปถึงวัฏจักรและวัฏจักร มันผ่านการทดสอบแบบสุ่มและอาจจะค่อนข้างเร็ว มีบางอย่างผิดปกติกับ Middle Square ที่ใหญ่พอหรือไม่? โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากเราจะไม่บ่นเกี่ยวกับความเร็วและข้อกำหนดของคณิตศาสตร์ 256 บิต
Mellisa O'Neil เขียนว่าหากตัวสร้างเป็นแผนที่แบบสุ่ม จะมีความเสี่ยงที่จะเกิดสถานะไม่ดีและวงจรสั้น แต่ความน่าจะเป็นในกรณีนี้คืออะไร? ดูเหมือนจะเล็กมาก ยังไงก็พิสูจน์ไม่ได้
ข้อความ "เราคาดว่าจะผลิต $2^{64.3}$ ตัวเลขก่อนที่เราจะเริ่มทำซ้ำ" จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อเราเชื่อว่า Middle Square แบบ 128 บิตทำงานเหมือนการแมปแบบสุ่มบน $\{0,1\}^{128}$. อย่างไรก็ตาม เราสามารถแสดงได้ว่ามีคุณสมบัติที่ไม่น่าเป็นไปได้สูงสำหรับการแมปแบบสุ่ม
จำได้ว่า Middle Square 128 บิตรักษาสถานะ 128 บิต $S_t$. การอัปเดตทำได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยการยกกำลังสอง $S_t$และรับบิต 64-191 เป็นของใหม่ $S_{t+1}$ เช่น. $$S_{t+1}=(S_t^2>>64)\%2^{128}.$$
รัฐ $S_t=0$ แสดงถึงจุดคงที่ แม้ว่าการแมปแบบสุ่มมีจุดคงที่ด้วยความน่าจะเป็นคร่าวๆ $(1-1/ครั้ง)$นี่เป็นเรื่องผิดปกติเนื่องจากมีภาพพรีอิมเมจจำนวนมาก หมายเลขใดก็ได้ $S<2^{32}$ จะจับคู่กับ 0 เช่นเดียวกับจำนวนใดๆ $S$ หารด้วย $2^{96}$. ภาพรวมเหล่านี้เพียงอย่างเดียว (อาจมีอื่น ๆ อีก) ทั้งหมด $2^{33}$ เมื่อสำหรับแผนที่สุ่มขนาดใหญ่ เราคาดว่าจำนวนภาพล่วงหน้าจะกระจายปัวซอง(1) ยิ่งกว่านั้นหากเราพิจารณารุ่นก่อนหน้า จำนวนใดๆ $S<2^{64}$ จะจับคู่กับจำนวนที่น้อยกว่าและจำนวนที่น้อยกว่า $2^{63}$ จะถึง 0 ในเวลาน้อยกว่า 6 ขั้นตอน ในทำนองเดียวกันสำหรับจำนวนที่หารด้วย $2^{65}$. สิ่งนี้ให้อย่างน้อย $2^{64}$ สถานะก่อนหน้าเป็น 0 เมื่อแผนที่สุ่มคาดหวัง $2^{64}\sqrt{\pi/8}$ (โดยมีเวลารวมตัวกันไล่เลี่ยกัน). จำนวนสถานะก่อนหน้ายังคงเพิ่มขึ้นเมื่อเราพิจารณาถึงสถานะก่อนหน้าที่เป็นไปได้ของการรับประกันของเรา $2^{64}$ รัฐบรรพบุรุษหากแต่ละคนมี $2^{64}\sqrt{\pi/8}$ รุ่นก่อนเราอาจเห็นสัดส่วนบวกของพื้นที่ของเราเสื่อมลงเป็นสถานะ 0
นอกจากนี้ยังมีพื้นที่ย่อยที่สงวนไว้ของจำนวนที่หารด้วย $2^{64}$ (พื้นที่นี้มีขนาด $2^{63}$) ซึ่งเราอาจคาดหวังให้แสดงสถิติการแมปแบบสุ่มสำหรับพื้นที่ขนาดเล็กกว่า (เช่นความยาวรอบของ $2^{31.5}\sqrt{\pi/8}$). จากนั้นเราจะพิจารณาสิ่งก่อนหน้าสำหรับพื้นที่ย่อยนี้และสร้างความคาดหวังที่แตกต่างอย่างมากจากการแมปแบบสุ่มทั้งหมด
โครงสร้างทั้งหมดนี้ผิดปรกติอย่างมากของการทำแผนที่แบบสุ่ม และเราควรสรุปได้ว่าการทำแผนที่แบบสุ่มไม่ใช่แบบจำลองที่ดีในกรณีนี้
การอ่านหน้าที่เชื่อมโยงในคำถาม: รับทราบว่าวิธีสี่เหลี่ยมจัตุรัสกลางพื้นฐานนำไปสู่วัฏจักรสั้น อธิบายว่าทำไม (เช่นเดียวกับสิ่งนี้ คำตอบอื่น ๆ) และเสนอรูปแบบ "จัตุรัสกลาง" แทน ซึ่งวนซ้ำ $x\mapsto g(x):=2^n-1-\left\floor x^2/2^{\left\floor n/2\right\rfloor}\right\rfloor\bmod 2^n$ แทน $x\mapsto f(x):=\left\floor x^2/2^{\left\floor n/2\right\rfloor}\right\rfloor\bmod 2^n$.
รูปแบบนี้จะลบจุดตายตัวที่เห็นได้ชัดออกไป และที่สำคัญกว่านั้นคือจุดที่มีคลาสขนาดใหญ่ที่เห็นได้ชัดซึ่งถูกผูกมัดให้ตกอยู่ในวัฏจักรสั้นๆ อย่างรวดเร็ว นี่คือการปรับปรุง อย่างไรก็ตาม:
สรุปแล้ว Middle Square PRNG และแม้แต่ Meddle Square ที่ปรับปรุงแล้วก็ยังผิดเพราะ:
* นั่นคือความสามารถในการคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ $j^\text{th}$ เอาต์พุตของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าขนาดใหญ่ $เจ$ด้วยความพยายามเป็นหลักโดยไม่ขึ้นกับขนาด $เจ$ เป็น. สิ่งนี้มีประโยชน์เมื่อ $เจ$ เป็นดัชนีในภาพยนตร์ขนาดใหญ่ที่เข้ารหัสโดย XOR พร้อมเอาต์พุตของตัวสร้าง และเราต้องการเริ่มดูภาพยนตร์สามตอนสุดท้าย
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
