ผลลัพธ์ความเป็นคู่สำหรับ Lattices ของโมดูลบางตัว

อนุญาต $R$ เป็นวงแหวนของจำนวนเต็มของสนามไซโคลโทมิก $\mathbb{Q}(\zeta_n)$, ที่ไหน $n$ เป็นกำลังสอง และ $\bold symbol{a} \in R_{q}^{m}$, สำหรับ $m\in\mathbb{Z}^+$, $q\in\mathbb{Z}_{\geq2}$ นายกรัฐมนตรี กำหนดสิ่งต่อไปนี้ $R$-โมดูลที่ไหน $I$ เป็นอุดมคติของ $R_{q} = R/qR$: $$ \begin{รวบรวม} \bold symbol{a}^{\perp}(I):=\left\{\left(t_{1}, \ldots, t_{m}\right) \in R^{m}: \forall i,\ ซ้าย (t_{i} \bmod q\right) \in I \text { และ } \sum_{i} t_{i} a_{i}=0 \bmod q\right\}, \ L(\bold symbol{a}, I):=\left\{\left(t_{1}, \ldots, t_{m}\right) \in R^{m}: \exists s \in R_{q }, \forall i,\left(t_{i} \bmod q\right)=a_{i} \cdot s \bmod I\right\} \end{รวบรวม} $$ อุดมคติของ $R_{q}$ สามารถเขียนในรูป $I_{S}:=\prod_{i \in S}\left(x-\zeta_n^{i}\right) \cdot R_{q}=\left\{a \in R_{q}: \forall ฉัน \ใน S, a\left(\zeta_n^{i}\right)=0\right\}$, ที่ไหน $S$ เป็นเซตย่อยใดๆ ของ $\{1, \ldots, n\}$ (ที่ $\zeta_n^{i}$เป็นรากเหง้าของ $\Phi_n$ โมดูโล $คิว$ ). กำหนด $I_{S}^{\times}=\prod_{i \in S}\left(x-{\zeta_n^{i}}^{-1}\right) \cdot R_{q}$.

ผู้เขียนเรื่องนี้ กระดาษ จากนั้นพิสูจน์ (บทที่ 7): ให้ $S \subseteq\{1, \ldots, n\}$ และ $\bold symbol{a} \in R_{q}^{m}$. อนุญาต $\bar{S}=\{1, \ldots, n\} \backslash S$ และ $\bold symbol{a}^{\times} \in$ $R_{q}^{m}$ ถูกกำหนดโดย $a_{i}^{\times}=a_{i}\left(x^{-1}\right)$. แล้วกับ $\widehat{\cdot}$ หมายถึงคู่ของขัดแตะ: $$ \widehat{\bold symbol{a}^{\perp}\left(I_{S}\right)}=\frac{1}{q} L\left(\bold symbol{a}^{\times}, I_{ \bar{S}}^{\times}\right) $$ คำถามของฉันคือ: ในขณะที่การกักกัน $\frac{1}{q} L\left(\bold symbol{a}^{\times}, I_{\bar{S}}^{\times}\right)\subset \widehat{\bold symbol{a} ^{\perp}\left(I_{S}\right)}$ ชัดเจนสำหรับฉัน ฉันไม่สามารถพิสูจน์ทิศทางย้อนกลับได้ $\widehat{\bold symbol{a}^{\perp}\left(I_{S}\right)}\subset\frac{1}{q} L\left(\bold symbol{a}^{\times}, I_{\bar{S}}^{\times}\right)$. ผลลัพธ์ที่ได้เป็นอย่างไร?