แก้ไข: ฉันทำอะไรผิดพลาด (ดูความคิดเห็นที่คำตอบ) คำถามนี้มีข้อความเท็จบางส่วน EditEnd
สำหรับโมดูโลไพรม์เทเตรชัน $พี$ $$^{i}g = g\uparrow \uparrow i = \underbrace{g^{g^{\cdot\cdot\cdot^{g}}}}_i\equiv v \mod P$$ ด้วยความเหมาะสม $g,P$ ดังนั้น $$|\{^jg \mod P\}| = P-1 \text{ }\text{ , หรือ }\text{ } v\in[1,P-1] $$
ที่ให้ไว้ $P,ก,V$การค้นหาสิ่งที่เกี่ยวข้องนั้นยากเพียงใด $i$?
ยากกว่า DLP? (การหา $i$ สำหรับ $g^i \equiv v \mod P$)
ฉันสนใจจำนวนขั้นตอน ($O$ สัญกรณ์ ).
เพื่อเปรียบเทียบกับปัญหา DLP ปกติ เราถือว่าเป็นขั้นตอนหนึ่ง - ดังนั้น $g^c$ และ $g\cdotc$ ด้วยค่าคงที่ $ค$ ก็ต้องใช้เวลาเหมือนกัน
เพื่อให้ได้ค่าทั้งหมด $v$ ตัวแปร $g,P$ ต้องการคุณสมบัติพิเศษ: $$^{P-1}g \equiv 1 \mod P$$ $$\forall j \in [1,N-2]: \text{ }^{j}g \not\equiv 1 \mod P$$ เราก็ถือว่า $g,P$ ถูกเลือกให้ปลอดภัยที่สุด (เช่น $P = 2q+1$, กับ $คิว$ นายก (ยังดีกว่าที่นี่?))
ตัวอย่างของเล่น:
กับ $P=5, g=3$ ลำดับจะเป็น $$\begin{แยก} &[3, 3^3, 3^{3^3}, 3^{3^{3^3}}] \mod 5 \ \equiv&[3, 3^3\equiv 2, 3^{2} \equiv 4, 3^{4} \equiv 1] \mod 5 \ \equiv&[3, 2, 4, 1] \mod 5 \end{แยก}$$
หรือ $P=23, g=20$ หรือ $P=59, g=39$
คำถามหลัก:
คำถามด้านข้าง:
ต้องใช้กี่ขั้นตอนในการคำนวณผลลัพธ์ $v$ สำหรับ $i,g,P$? เร็วกว่า $O(i)$?
ถ้ามีค่า $v_i$ สำหรับบางอย่าง $i$ เป็นที่รู้จักในค่าถัดไป $v_{i+1}$ สามารถคำนวณได้ด้วย $$ ^{i+1}g \equiv g^{v_{i}} \equiv v_{i+1} \mod P$$ คำนวณได้ด้วยหรือ $v_{i-1}$ ออกจาก $v_{i}$ ? หรือคล้ายกับ DLP?
สำหรับที่กำหนด $g\in\mathbb N$ จะมีมากที่สุด $O(\log P)$ โมดูโลไทเทรตที่แตกต่างกัน $พี$. ดังนั้นจึงมีตัวอย่างเพียงเล็กน้อยเท่านั้นที่ $|\{{}^jg\mod P\}|=P-1$. ในกรณีอื่นๆ ถ้าโมดูโลเทเตรต $พี$ สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพแล้วปัญหาก็ง่ายที่จะแก้ไขโดยความเหน็ดเหนื่อย
เพื่อทำความเข้าใจกับขนาดที่เล็กของ $|\{{}^jg\mod P\}|$โปรดทราบว่าสำหรับถ้า $พี$ ไม่แบ่ง $g$ แล้วสำหรับ $i\ge 1$ โดยทฤษฎีบทของออยเลอร์ $${}^ig\equiv g^{{}^{i-1}g}\equiv g^{{}^{i-1}g\mod{\phi(P)}}\pmod P.$ $ ตอนนี้เราทราบว่า ${}^{i-1}g\mod{\phi(P)}$ ใช้เวลาสูงสุด $\phi(\phi(P))$ ค่าที่แตกต่างกันและวัฏจักรเหล่านี้มีระยะเวลามากที่สุด $\phi(\phi(P))$. มันเป็นไปตามนั้นสำหรับ $i\ge 1$, ${}^ig\mod P$ ใช้เวลาส่วนใหญ่ $\phi(\phi(P))$ ค่า ย้ำอาร์กิวเมนต์เขียน $\phi_k(x)$ สำหรับ $k$- ฟังก์ชัน totient ซ้ำ $\phi_1(x)=\phi(x)$, $\phi_k(x)=\phi(\phi_{k-1}(x))$. นั้นเรามาดูกันว่าสำหรับ $i\ge k$, ${}^{i-k}g\mod{\phi_k(P)}$ ใช้เวลาสูงสุด $\phi_{k+1}(P)$ ค่าที่แตกต่างกันและด้วยเหตุนี้ $i\ge k$, ${}^ig\mod P$ ใช้เวลาส่วนใหญ่ $\phi_{k+1}(P)$ ค่า มีการยกเลิกที่นี่เกี่ยวกับรายละเอียดเมื่อ $g$ มีปัจจัยร่วมอยู่ด้วย $\phi_k(P)$.
ตอนนี้เราทราบว่าสำหรับทุกคน $n>2$ เรามี $2|\phi(n)$ และนั่นสำหรับทุกคน $m$ เรามี $\phi(2m)\le m/2$. ก็เป็นไปตามนั้น $\phi_k(P)\le P/2^{k-1}$. เพราะด้วย $\phi_k(P)$ เป็นจำนวนเต็ม สำหรับ $k>\lceil\log_2P\rceil+1$ เรามี $\phi_k(P)=1$. ดังนั้นถ้าเราเขียน $L=\lceil\log_2P\rceil+1$ เรามีสำหรับ $i,j>L$ ${}^ig\equiv{}^jg\pmod P$.
การคำนวณเทเทรตทำได้โดยวิธีกำลังสองและคูณ โดยสามารถคำนวณได้ทั้งหมด $\phi_k(P)$.
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
