ฉันพบว่าพีชคณิตที่อยู่เบื้องหลังรหัสวัฏจักรค่อนข้างยุ่งยาก จุดเริ่มต้นนั้นง่ายพอ: $C\subseteq \mathbb F_q^n$ เป็นวัฏจักรหากมีการเปลี่ยนวัฏจักรของคำรหัส $c\in \mathbb F_q^n$ ยังอยู่ใน $C$. จากนั้นฉันก็พบกับสิ่งนี้: รหัสวงจรสอดคล้องกับอุดมคติของ $$\mathbb F_q[x]/(x^n-1). $$ ตอนนี้ ฉันมีพื้นฐานเกี่ยวกับพีชคณิตนามธรรมมาบ้างแล้ว ส่วนใหญ่มาจากทฤษฎีกลุ่ม ฉันจำวงแหวนและผลหารได้ แต่ฉันมีปัญหาในการดูความเท่าเทียมกัน ใครก็ได้ช่วยอธิบายให้ฉันที ง่ายมาก ข้อกำหนด?
คุณสมบัติในอุดมคติให้การสมมูลของพหุนามบนการหารแบบโมดูโล $(x^n-1).$ $$p(x) \equiv q(x) \text{ iff } p(x) - q(x) = 0 \pmod{(x^n-1)}$$
คิดจะคูณด้วย $x$ ในฐานะผู้ดำเนินการกะ $$c(x)=c_0+c_1 x+\cdots+ c_{n-1} x^{n-1}$$ นี่บอกว่าหลังจากนั้น $n$ การเปลี่ยนแปลงเป็นวงกลม คุณจะได้พหุนามเดิมกลับมา ที่นี่ $ค(x)$ แสดงถึงโค้ดเวิร์ด $$(c_0,c_1,\ldots,c_{n-1})$$
แก้ไข: ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นที่เป็นประโยชน์ @JyrkiLahtonen:
โปรดทราบว่า $$ x c(x)=c_{n-1}+c_0 x+ c_1 x^2+\cdots+c_{n-2} x^{n-1} +c_{n-1}(x^n-1)\ เทียบเท่า $$ $$ \equiv c_{n-1}+c_0 x+ c_1 x^2+\cdots+c_{n-2} x^{n-1} \pmod{x^n-1} $$ อธิบายว่าเหตุใดจึงคูณด้วย $x$ ในวงแหวนผลหาร $\mathbb{F}_q[x]/(x^nâ1)$ ตรงกับการเปลี่ยนแปลงของวงจร $$ (c_0,c_1,\ldots,c_{n-1})\mapsto (c_{n-1},c_0,c_1,\ldots,c_{n-2}) $$
จำได้ว่าอุดมคติของแหวนคือชุดขององค์ประกอบจากวงแหวน เช่น (นี่ไม่ใช่รายการคุณสมบัติทั้งหมด แต่เป็นสิ่งที่สำคัญสำหรับคำตอบของฉัน):
ตอนนี้จำได้ว่ารหัสวงจรยังเป็นรหัสเชิงเส้นด้วยคุณสมบัติพิเศษที่การเปลี่ยนแปลงแบบวนรอบยังคงให้คำรหัส (ตามที่คุณกล่าวถึงในคำถาม)
คำตอบอื่น ๆ ได้อธิบายถึงความสำคัญของโมดูลัส $(x^n-1)$ ในวงแหวนเพื่อให้ได้ส่วนที่เป็นวงกลมตอนนี้ ความจริงที่ว่ารหัสที่ถูกต้องเป็นอุดมคติในวงแหวนผลหารนี้สอดคล้องกับรหัสเชิงเส้น - การเพิ่มโค้ดเวิร์ดสองคำเข้าด้วยกันทำให้มีโค้ดเวิร์ดที่ถูกต้องอีกคำหนึ่ง นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่านี่คือวงแหวนในอุดมคติหลัก ซึ่งหมายความว่าทุกอุดมคติสามารถสร้างขึ้นได้ด้วยองค์ประกอบเดียว องค์ประกอบนั้นก็คือพหุนามกำเนิดนั่นเอง $g$ ของรหัส คุณสมบัติ # 2 ด้านบนหมายความว่าทุก ๆ ตัวกำเนิด $g$ โดยพหุนามอื่น (mod $(x^n-1)$) ยังคงให้รหัสที่ถูกต้อง
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
