คุณสามารถแสดงหลักฐานของแผนการแบ่งปันความลับแบบหลายความลับที่ปลอดภัยซึ่งเป็นไปตามข้อกำหนดของความถูกต้องและความเป็นส่วนตัวตามทฤษฎีข้อมูลได้หรือไม่?

สมมติว่าเรามีแผนการแบ่งปันหลายความลับและให้ $I$ เป็นชุดของตัวแทน บอกว่า $S$ คือช่องว่างของตัวแปรสุ่ม (ชุด) $s=(s_1,s_2,\cdots,s_I)\ใน S$ เช่นนั้นส่วนแบ่ง $s_1$ เป็นที่รู้จักกัน $P_1$, $s_2$ เป็นที่รู้จักกัน $P_2$ และอื่น ๆ

ตามการแบ่งปันความลับของ Shamir สมมติว่า $\mathbb{F}$ เป็นเขตจำกัด โครงร่างนี้ใช้ข้อเท็จจริงทั่วไปต่อไปนี้เกี่ยวกับการประมาณค่าพหุนาม: มากที่สุดคือพหุนามของดีกรี $t$ ถูกกำหนดโดยสมบูรณ์ $t+1(<I)$ จุดบนพหุนาม ตัวอย่างเช่น จุดสองจุดกำหนดเส้น และสามจุดกำหนดพาราโบลา ข้อเท็จจริงทั่วไปนี้ไม่เพียงแต่มีไว้สำหรับจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงโดเมนพีชคณิตใดๆ ที่องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดมีการผกผันการคูณ (โดเมนดังกล่าวเรียกว่าฟิลด์ตามที่กำหนดไว้ข้างต้นในสถานการณ์ทั่วไปส่วนใหญ่)

$\textbf{คำถาม:}$ มีใครสามารถให้โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่ชัดเจนและข้อพิสูจน์ของแผนการแบ่งปันแบบหลายความลับที่เหมาะสมซึ่งข้อกำหนดของความถูกต้องและความเป็นส่วนตัวทางทฤษฎีข้อมูลเป็นสิ่งที่ตกลงไปหรือไม่

ยินดีต้อนรับการอ้างอิงของวรรณกรรมใด ๆ ! นอกจากนี้ แทนที่จะใช้สูตรพหุนามในการพิสูจน์ ฉันจะขอบคุณมากถ้าคุณใช้ $+$ - โมดูโล่ $คิว$ หรือ $\times$ - โมดูโล่ $คิว$, ที่ไหน $คิว$ เป็นคาร์ดินัลของฟิลด์จำกัด $\mathbb{F}$.