LCGs มีคุณสมบัติที่เมื่อลงจุดใน 2 มิติขึ้นไป เส้นหรือไฮเปอร์เพลนจะก่อตัวขึ้น ซึ่งผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดสามารถพบได้[2] การทดสอบสเปกตรัมเปรียบเทียบระยะห่างระหว่างระนาบเหล่านี้ ยิ่งห่างกันเท่าไร เครื่องกำเนิดยิ่งแย่:
https://th.wikipedia.org/wiki/Spectral_test
เรามีเอกสารที่ทดสอบและพบตัวคูณที่มีคุณสมบัติทางสเปกตรัมที่ดี:
https://www.ams.org/journals/mcom/1999-68-225/S0025-5718-99-00996-5/S0025-5718-99-00996-5.pdf
https://arxiv.org/pdf/2001.05304.pdf
ลองพิจารณาเครื่องกำเนิด LCG ทั้งหมด $\mod 2^{n}$:
$x_{n+1} = (a \cdot x_{n} + c) \mod 2^{n}$
ด้วยตัวคูณที่เป็นไปได้ทั้งหมด $a$. คะแนนสเปกตรัมเฉลี่ยของคืออะไร $a$?
เดอะ การทดสอบสเปกตรัม ประกอบด้วยการเปรียบเทียบความยาวของเวกเตอร์ที่สั้นที่สุดในแลตทิซที่สัมพันธ์กับ เครื่องกำเนิดความสอดคล้องเชิงเส้น ด้วยตัวคูณ $a$ และโมดูลัส $m$ ถึงความยาวสูงสุดที่เป็นไปได้ของเวกเตอร์ที่สั้นที่สุดในแลตทิซใดๆ ที่มีมิติเดียวกัน
โดยเฉพาะอย่างยิ่งการทดสอบสเปกตรัมของตัวเลขของระดับ $d$ ประกอบด้วย $$ \frac{\nu_d}{\gamma_d^{1/2}m^{1/d}}\,, $$ ที่ไหน $\nu_d$ คือ $L_2$ บรรทัดฐานของเวกเตอร์ที่สั้นที่สุดของโครงตาข่ายที่สร้างโดยแถว $$ \begin{patrix} ม&0&0&\จุด&0\ ก&1&0&\จุด&0\ ก^2&0&1&\จุด&0\ &&\จุด&\ ก^{d-1}&0&0&\จุด&1 \end{pmatrix}, $$ และ $\gamma_d$ เป็น ค่าคงที่ของ Hermite สำหรับมิติ $d$หรือการประมาณของมัน เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของแลตทิซนี้คือ $m$,ระยะ $\gamma_d^{1/2}m^{1/d}$ เป็นขอบเขตบนที่แน่นสำหรับเวกเตอร์ที่สั้นที่สุดสำหรับโครงตาข่ายของมิติ $d$. (หมายเหตุ ร่างทรงบุญหากปริญญา $d$ มักจะถูกกำหนดให้เป็นขั้นต่ำของคะแนนทั้งหมดจาก $2$ จนถึง $d$; ฉันไม่สนใจที่นี่เพื่อความเรียบง่าย)
การคำนวณค่าเฉลี่ยที่แน่นอนสำหรับคะแนนนี้ค่อนข้างยาก อย่างไรก็ตาม เราสามารถผ่อนคลายปัญหาเล็กน้อยและแสร้งทำเป็นว่า lattices ของแบบฟอร์มด้านบนสามารถจำลองเป็น lattices แบบสุ่ม ซึ่งในกรณีนี้เราสามารถใช้ ฮิวริสติกแบบเกาส์ และประมาณค่าที่คาดหวังของเวกเตอร์ที่สั้นที่สุดในมิติ $d$ เช่น $$ \left(\frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(1+d/2)}\right)^{-1/d} m^{1/d}\,, $$ ซึ่งเราสามารถได้รับคะแนนการทดสอบสเปกตรัมเฉลี่ยสำหรับมิติ $d$ เช่น $$ \frac{ \left(\frac{\pi^{d/2}}{\Gamma(1+d/2)}\right)^{-1/d} }{\gamma_d^{1/2}} \,. $$ ด้านล่างนี้เป็นค่าประมาณตามลำดับสำหรับขนาด $2$ ถึง $8$ซึ่งเป็นที่ทราบแน่ชัดว่าค่าคงที่เฮอร์ไมต์ โปรดทราบว่าเรากำลังทำบาปอย่างน้อยสองประการที่นี่:
| $d$ | $\mathbf{E}\left[\frac{\nu_d}{\gamma_d^{1/2}m^{1/d}}\right]$ |
|---|---|
| 2 | 0.525 |
| 3 | 0.552 |
| 4 | 0.564 |
| 5 | 0.583 |
| 6 | 0.589 |
| 7 | 0.595 |
| 8 | 0.593 |
คะแนนที่กำหนดโดย Knuth (เล่ม 2, §3.3.4), $$ \mu_d = \frac{\pi^{d/2}\nu_d^d}{(d/2)! ม}\,, $$ กำลังเปรียบเทียบโครงสร้างแลตทิซของ LCG กับค่าเฉลี่ยที่คาดไว้นี้ แต่มีขนาดต่างกัน โดยคนุธกล่าวว่า $\mu_d \ge 1$ เป็นคะแนนที่ดี หมายความว่าโครงตาข่ายของ LCG จะทำงานเหมือนโครงตาข่ายแบบสุ่ม
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
