การแบ่งปันรูปแบบข้อมูลของการเข้ารหัส - การดำเนินการในเลขคณิตแบบโมดูลาร์

โดยคำนึงถึงคำถามก่อนหน้าของฉัน ที่นี่ และคำตอบเกี่ยวกับรูปแบบการเข้ารหัส-ถอดรหัสที่เสนอ ฉันกำลังพยายามทำความเข้าใจวิธีการดำเนินการที่เป็นไปได้ในเลขคณิตโมดูลาร์สำหรับรูปแบบการแบ่งปันความลับตามที่เสนอ ที่นั่น

สมมติว่า $\mathbb{F}$ เป็นเขตข้อมูลจำกัดเช่นนั้น $x\in\mathbb{F}$. เราพิจารณาเครือข่ายห้าตัวแทนที่แสดงถึง $i$ เจ้าหน้าที่ทั่วไปและผู้เล่นทุกคนรู้พิกัดของตัวเองจาก $x$คือผู้เล่น $1$ รู้ $x_1$ผู้เล่น $2$ รู้ $x_2$ และอื่น ๆ พวกเขาแต่ละคนต้องการแบ่งปันความลับของเธอกับผู้เล่นคนอื่นในลักษณะที่เธอไม่ต้องการเปิดเผยข้อมูลของเธอด้วยแผนการแบ่งปันความลับเหมือนในแผนการของ Shamir ตัวอย่างเช่นผู้เล่น $i$ แบ่งปันความลับของเธอ $x_1$ ด้วยประการฉะนี้แล

$\tau_{12}=z_{12}(x_{1})+\beta_{12} (mod{n_1})$ $\tau_{13}=z_{13}(x_{1})+\beta_{13} (mod{n_2})$ และด้วยเหตุนี้ $\tau_{ij}=z_{ij}(x_{i})+\beta_{ij} (mod{n_i})$

ดังนั้น $z_{ij}(x_{i})=\alpha_{ij}\cdot x_{i}=w_{ij}$, ที่ไหน $j=-i$

$\textbf{คำถามที่ 1:}$ ผู้เล่น $1$ ตัวอย่างเช่นได้ให้ข้อมูลที่แตกต่างกันสี่ส่วนของเธอ $s_1$ดังนั้นถ้าเรารวมสี่ส่วน $\alpha_{12}\cdot x_{1}+\alpha_{13}\cdot x_{1}+\alpha_{14}\cdot x_{1}+\alpha_{15}\cdot x_{1}=( \alpha_{12}+\alpha_{13}+\alpha_{14}+\alpha_{15})\cdot x_{1}=a_1\cdot x_1$ เราสามารถดำเนินการดังต่อไปนี้ $t_1=t_{12}+t_{13}+t_{14}+t_{15}=w_{12}+\beta_{12}(mod{n}_1)+w_{13}+\beta_{13 }(mod{n}_1)+w_{14}+\beta_{14}(mod{n}_1)+w_{15}+\beta_{15}(mod{n}_1)=\alpha_1\cdot x_1+ \beta_1(mod{n}_1)=w_1\bigoplus_{n_1}\beta_1$. การคำนวณผลรวมเหล่านี้ถูกต้องหรือไม่ โดยที่ $t_i=w_i\bigoplus_{n_i}\beta_i$, $\forall i$?

$\textbf{คำถาม 2:}$ โครงร่างทั้งหมดเหล่านี้อ้างถึงพหุนาม $\tau_i-w_i-\beta_i$ เป็นทวีคูณของ $n_i$. โดยสรุปทั้งหมดเหล่านี้ $\tau_i-w_i-\beta_i$ จากผู้เล่นห้าคน เราได้พหุนามหรือไม่ $ฉ(x)$ ของแผนการแชร์ความลับดังกล่าว $f(0)=s$?