ประการแรกฉันไม่คิดว่า $\ซีต้า(s)$ ที่มีประสิทธิภาพในการคำนวณ ความสนใจของเราในการคำนวณ $\ซีต้า(s)$ สำหรับวัตถุประสงค์ทางทฤษฎีจำนวนเฉพาะมักจะมุ่งเน้นไปที่เส้นวิกฤต $\mathrm{Re}s=1/2$ และ สูตรรีมันน์-ซีเกล ต้องใช้ $O(t^{1/2})$ ข้อกำหนดในการคำนวณ $\zeta(1/2+it)$. มีการเร่งความเร็วสำหรับการคำนวณค่าทวีคูณ แต่ไม่มากนัก
ในทำนองเดียวกัน ฉันไม่แน่ใจว่าคุณหมายถึงอะไรโดยย้อนกลับ ฟังก์ชันไม่ใช่ bijective (เรารู้ว่าหลายแห่งที่เป็นศูนย์ เป็นต้น)
ที่กล่าวว่า มีแนวคิดบางอย่างเกี่ยวกับการใช้ทฤษฎีจำนวนวิเคราะห์สำหรับวิธีการแยกตัวประกอบ วิธีการแยกตัวประกอบของกลุ่มคลาสของแชงค์สสามารถเร่งความเร็วได้หากสามารถประมาณค่าได้ $L(1,\chi_N)$ (ที่นี่ $L$- ฟังก์ชั่นสำหรับฟิลด์ตัวเลข $\mathbb Q(\sqrt N)$ และมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับ $\ซีต้า(s)$. ด้วยสมมติฐานทั่วไปของรีมันน์ แชงค์สสามารถลดเวลาการทำงานของอัลกอริธึมของเขาในการแยกตัวประกอบได้ $N$ จาก $O(N^{1/4+\epsilon})$ ถึง $O(N^{1/5+\epsilon})$. ความซับซ้อนดังกล่าวไม่น่าที่จะแยกจำนวนที่มากกว่าสองสามร้อยบิตและไม่สามารถแข่งขันได้ ตะแกรงฟิลด์ตัวเลขทั่วไป.
ได้มีการนำแนวคิดไปใช้ $\ซีต้า(s)$ เอง (ดูกระดาษล่าสุด "การแยกตัวประกอบพร้อมคำแนะนำ" โดย Sica เป็นต้น) แต่สิ่งเหล่านี้พยายามที่จะเข้าใกล้ความซับซ้อนของวิธีการของ Shanks ในช่วงปี 1970 (กระดาษของ Sica มีความซับซ้อน $O(N^{1/3+\epsilon})$.)