อนุญาต $X = [0, 1]\cap \mathbb{Q}$, และปล่อยให้ $f:X \ลูกศรขวา X$ เป็นแผนที่อลหม่าน (เช่น แผนที่โลจิสติกที่มีพารามิเตอร์ที่มีเหตุผล) คำถามของฉันมีดังนี้ และเป็นเรื่องทางทฤษฎีล้วนๆ เลือกค่าบางอย่าง $x_0$ จาก $X$ (โปรดทราบว่า $X$ เป็นอนันต์ที่นี่ ดังนั้นให้เลือกค่าโดยใช้สัจพจน์ที่เลือก) จากนั้นพิจารณาลำดับของบิตที่เกิดจากการวนซ้ำ $f$ เกิน $x_0$, กลับก $0$ ถ้า $f^n(x_0)\leq 1/2$ และส่งคืน $1$ ถ้า $f^n(x_0)>1/2$.
มีอัลกอริทึมอยู่หรือไม่ซึ่งเมื่อกำหนดพารามิเตอร์ของแผนที่ $f$ และลำดับบิต $s \in \{0, 1\}^n$ ได้จากการวนซ้ำ $f$ เกิน $x_0$ และคืนบิตในลักษณะที่กำหนดรวมเป็น $n$ ครั้งที่สามารถทำนายบิตถัดไปที่ได้จาก $f^{n+1}(x_0)$ ด้วยความน่าจะเป็นที่ไม่สำคัญ สำหรับใดๆ $n$แม้กระทั่งเมื่อ $n >|x_0|$ ที่ไหน $|x_0|$ คือความยาวของสตริงบิตที่แสดง $x_0$?
เหตุผลที่ฉันถามเพราะมันดูเหมือนจะแตกต่างจากการถามว่ามี PRG หรือไม่ (แต่ฉันอาจผิด) เหตุผลคือฉันถือว่าเงื่อนไขเริ่มต้น "ความลับ" $x_0$ ไม่ได้สุ่มเลือกจากเซตจำกัด แต่ถูกเลือกจากเซตไม่จำกัด $X$ (แม้ว่า $X$ นับได้และด้วยเหตุนี้ทุกองค์ประกอบสามารถแสดงด้วยสตริงบิตจำกัด) ดังนั้นฉันสงสัยว่าข้อสันนิษฐานนี้เกี่ยวกับการวาดเงื่อนไขเริ่มต้นเปลี่ยนแปลงสิ่งต่างๆ หรือไม่
ส่วนแรกของคำตอบนี้มีไว้สำหรับ รุ่นก่อนหน้าของคำถาม, กับ $x_0$ เหตุผลแทนด้วยบิตสตริงขนาดใหญ่โดยพลการ
มีฟังก์ชั่นอยู่ $f$ เพื่อไม่ให้อัลกอริทึมสามารถทำนายบิตถัดไปของลำดับผลลัพธ์ได้
ตัวอย่างง่ายๆคือ $f(x)=\begin{cases}2x&\text{if }x<1/2\2x-1&\text{มิฉะนั้น}\end{cases}$.
ด้วยฟังก์ชันนี้ ลำดับเลขฐานสองที่สร้างขึ้นจะเป็นตัวแทนเลขฐานสองของ $x_0$ (เริ่มที่บิตแรกหลังจุดทศนิยม) ซึ่งไม่สามารถคาดเดาได้ คือว่า $f$ "แผนที่วุ่นวาย"?ผมบอกไม่ได้
เราสามารถทำให้ $f$ ต่อเนื่อง เช่น $f(x)=\begin{cases}2x&\text{if }x<1/2\2-2x&\text{มิฉะนั้น}\end{cases}$.
ความสัมพันธ์ระหว่างการแทนเลขฐานสองของ $x_0$ และลำดับยังคงเป็นเช่นที่เปลี่ยน $i^\text{th}$ บิตของการแทนเลขฐานสองของ $x_0$ เปลี่ยน $i^\text{th}$ บิตของลำดับ ฉันคิดว่าฉันได้เห็นหน้าที่นี้หรือลูกพี่ลูกน้องคนสนิทขนานนามว่าแผนที่วุ่นวาย".
เราสามารถทำให้ $f$ สืบทอดมาอย่างไม่มีกำหนดด้วย $f(x)=\frac{43}{11}\,x\,(1-x)$ (กรณีของ "แผนที่โลจิสติกพร้อมพารามิเตอร์ที่มีเหตุผล", และ "แผนที่วุ่นวาย" โดยบัญชีส่วนใหญ่) โดยไม่มีหลักฐาน: สำหรับบิตสตริงใดๆ ใน $\{0,1\}^{n+1}$ มีอยู่แล้ว $x_0$ เช่นนั้นเป็นครั้งแรก $n+1$ เอาต์พุตบิตคือบิตสตริงนั้น ดังนั้นบิตถัดไปจึงไม่สามารถคาดเดาได้อย่างแน่นอน
ตอนนี้สำหรับ คำถามที่แก้ไข กับ
สำหรับใดๆ $n$แม้กระทั่งเมื่อ $n >|x_0|$ ที่ไหน $|x_0|$ คือความยาวของสตริงบิตที่แสดง $x_0$.
โดยไม่ต้องพิสูจน์: ด้วย $f(x)=\frac{43}{11}\,x\,(1-x)$ และมากที่สุด $x_0$ตัวสร้างคำถามต้องการการทำงานแบบทวีคูณในจำนวนบิตที่ผลิต (อาร์กิวเมนต์: $f^n(x)$ เป็นพหุนามดีกรี $2^n$ดังนั้นจึงดูเหมือนว่าการประเมินเพื่อให้แม่นยำจำเป็นต้องรู้ $x$ ด้วยเลขชี้กำลังของบิต) ดังนั้นตัวสร้างคำถามจึงไม่เป็นไปตามเกณฑ์มาตรฐานของการเป็นอัลกอริทึมเวลาพหุนาม จึงไม่เป็นไปตามข้อกำหนดมาตรฐานของ PRG โดยไม่คำนึงถึงความสามารถในการคาดการณ์ อย่างน้อยความต้องการด้านต้นทุนและหน่วยความจำก็เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วจนไม่มีประโยชน์ในทางปฏิบัติ
ในทางกลับกันสำหรับการแก้ไขส่วนใหญ่ $x_0$ (บางทีทั้งหมดที่ไม่ได้สร้างลำดับบิตสร้างเป็นระยะในท้ายที่สุด) เป็นไปได้ที่จะสร้างตัวทำนายบางส่วน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ลำดับเอาต์พุตมีความเอนเอียงอย่างมาก $1$. ดังนั้นตัวแยกความแตกต่างจึงง่ายกว่าการคำนวณลำดับ ฉันคิดว่าการแก้ไขง่ายๆเช่นการเปลี่ยนเกณฑ์ $1/2$ ค่าเฉลี่ยที่คาดไว้จะยังคงอนุญาตให้ใช้ตัวแยกความแตกต่างของเวลาแบบพหุนามได้ง่ายๆ โดยการคำนวณความถี่ของลำดับของจำนวนบิต
¹ สำหรับตัวเลขที่มีการแทนเลขฐานสอง นั่นคือรูปแบบ $a/2^k$ใช้คำศัพท์ก่อน: เช่น $3/4$ เป็น $.1011111111111111111â¦$
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
