อนุญาต $p,q$ เป็นจำนวนเฉพาะและ $n = pq$ ในทุกการตั้งค่า RSA และตอนนี้ใช้การสุ่ม $e$ ที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้
ที่ไหน $\phi$ เป็นฟังก์ชันโทเทียนของออยเลอร์ นี้ $e$ ถูกใช้เป็นเลขชี้กำลังสาธารณะสำหรับคีย์สาธารณะและ $d$ เป็นเลขยกกำลังส่วนตัวสำหรับคีย์ส่วนตัว
จำไว้ $\phi(n) | เอ็ด - 1$, เช่น $ed = 1 + k \cdot \phi(n)$ ถือสำหรับ $k \in \mathbb{Z}$. คำถามคือทำไมถึงถืออย่างนั้น $$(e^{-1} ~\text{mod}~ n \cdot \phi(n)) ~\text{mod}~ \ \phi(n) = e^{-1} ~\text{mod }~ \phi(n)\text{?}$$ ใครช่วยอธิบายมันทางคณิตศาสตร์หรือพิสูจน์ว่าทำไมมันถึงเป็นเช่นนั้น?
คำถามที่เกี่ยวข้องกับหลาย ๆ $\phi(n)$ ถูกถามในนี้ คำถาม. ขออภัย ฉันไม่เข้าใจความสัมพันธ์ระหว่างผลคูณของ $\phi(n)$, $gcd$ และทำไมสมการนี้ $ed = 1 ~\text{mod}~ k \cdot \phi(n)$ ถือ $ed = 1 ~\text{mod}~ \phi(n)$ สำหรับ $k \in \mathbb{Z}$.
นอกจากนี้ จะเป็นการดีหากได้อ่านหลักฐานสำหรับคำถามที่เกี่ยวข้องเกี่ยวกับผลคูณของ $\phi(n)$ถ้ามีใครรู้ว่าทำไมถึงถือ
คำถามคือทำไมถึงถืออย่างนั้น $(e^{â1} \bmod n \cdot \phi(n)) \bmod \phi(n)=e%{â1} \bmod \phi(n)$?
จริงๆแล้วเรามีเอกลักษณ์ทั่วไปมากกว่านั้น $(A \bmod BC) \bmod C \equiv A \bmod C$สำหรับจำนวนเต็มใดๆ $A, B, C$. ในกรณีเฉพาะของคุณ เรามี $A = e^{-1} \bmod \phi(n)$, $B = n$, และ $C = \phi(n)$
เอกลักษณ์ทั่วไปนี้สามารถเห็นได้ง่ายจากข้อเท็จจริงสองประการ:
$X \bmod Y = X + k \cdot Y$ สำหรับจำนวนเต็ม $k$ (ซึ่งอาจเป็นผลลบ)
$X \bmod Y = Z \bmod Y$ ถ้าและถ้า $X - Z = k'\cdot Y$ สำหรับจำนวนเต็ม $k'$.
จากความจริงข้อแรก เราจะเห็นว่า $A \bmod BC = A + kBC$ (สำหรับจำนวนเต็มบางตัว $k$ - เราไม่สนใจว่าจำนวนเต็มนั้นคืออะไร)
จากข้อเท็จจริงประการที่สอง เราจะเห็นว่า $(A + kBC) \bmod C = A \bmod C$ ถือถ้าเรามี $A + kBC - A = k'C$ สำหรับจำนวนเต็ม $k'$; เราเห็นได้ทันทีว่านี่ถือเป็นจำนวนเต็ม $k' = kB$ด้วยเหตุนี้จึงเป็นความจริง
เนื่องจากข้อมูลประจำตัวทั่วไปมีอยู่ในทุกกรณี จึงมีผลในกรณีเฉพาะของคุณด้วย
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
