ฉันกำลังอ่านการแยกตัวประกอบ Elliptic Curve ของ Lenstra จากหนังสือ Mathematical Cryptography ของ Silverman
ฉันเข้าใจอัลกอริทึมของตัวเองแล้ว แต่ไม่สามารถเข้าใจประเด็นเฉพาะที่หนังสือเล่มนี้สร้างขึ้นได้
เรากำลังพยายามแยกตัวประกอบ 187
เราใช้ $E: Y^2 = X^3 + 3X + 7 \bmod 187$ กับ $P = (38, 112)$
เมื่อเราลองคำนวณดู $5P$เราต้องคำนวณส่วนผกผันของ 11 ใน 187 ซึ่งเราไม่สามารถคำนวณได้ เนื่องจาก 11 ไม่ใกล้เคียงกับ 187 และด้วยเหตุนี้ เราจึงสามารถหา 11 เป็นตัวประกอบของ 187 ได้
เท่านี้ก็ชัดเจนแล้ว อย่างไรก็ตามหลังจากนี้หนังสือกล่าวว่า
เราตรวจสอบอย่างละเอียดมากขึ้นว่าเหตุใดเราจึงไม่สามารถคำนวณได้ $5P$ โมดูโล 187 ถ้าเราดูที่เส้นโค้งวงรีแทน $E$ โมดูโล่ 11 จากนั้นการคำนวณอย่างรวดเร็วแสดงว่าจุดนั้น $P = (38,112) \equiv (5,2) \pmod{11}$ ตอบสนอง $5P = \คณิตศาสตร์ O$ ใน $E(\mathbb F_{11})$. ซึ่งหมายความว่าเมื่อเราพยายามคำนวณ $5P$ โมดูโล่ 11 เราจบลงด้วยประเด็น $\คณิตศาสตร์ O$ ที่ระยะอนันต์ ดังนั้น ในบางขั้นตอนของการคำนวณ เราได้พยายามทำ หารด้วยศูนย์ แต่ที่นี่ âศูนย์â หมายถึงศูนย์ใน $F_{11}$เราจึงลงเอยด้วยการพยายามหาส่วนกลับของโมดูโล 11 ของจำนวนเต็มที่หารด้วย 11 ลงตัว
เราได้แยกตัวประกอบ 187 แล้วพบว่า 11 เป็นหนึ่งในตัวประกอบ ดังนั้นจุดประสงค์ของการคำนวณคืออะไร $5P$ ใน $\mathbb F_{11}$. เรื่องนี้ให้ข้อคิดอะไรกับเราบ้าง?
อ้างเชิญชวนคอมพิวเตอร์ $5\,P$ บนสมการเส้นโค้งวงรี $E:\ Y^2\equiv X^3+3X+7\pmod{11}$ เพื่อให้บรรลุผลการทดลอง นี่คือจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด $\คณิตศาสตร์ O$ (จุดเป็นกลางของการบวก) และได้รับสัญชาตญาณว่าทำไมการคำนวณของ $5\,P$ บนสมการเส้นโค้งวงรี $E:\ Y^2\equiv X^3+3X+7\pmod{187}$ (ตามที่ดำเนินการโดยอัลกอริทึม) ให้ค่าที่ไม่สามารถกลับค่าโมดูโลได้ $187$.
ทั้งหมดนี้มาจาก ทฤษฎีบทส่วนที่เหลือของจีน. ข้อความที่เป็นไปได้และผลที่ตามมาคือ: สำหรับ $n=p\,q$ กับ $\gcd(p,q)=1$ (รวมทั้ง $n=187$ , $p=11$ , $q=17$ ดังตัวอย่าง)
เรื่องนี้ให้ข้อคิดอะไรกับเราบ้าง?
เราได้ข้อมูลเชิงลึกจากการคำนวณบน Elliptic Curve ในวงแหวน $\mathbb Z_n$ สำหรับ $n$ ของการแยกตัวประกอบที่ไม่รู้จัก (ในตอนแรก) ราวกับว่ามันเป็นฟิลด์ (ไม่ใช่) เรายังสามารถคำนวณบนเส้นโค้งวงรีในวงแหวน $\mathbb Z_p$ ที่ไหน $p$ เป็นปัจจัยที่ไม่ทราบ (แต่แรก) ของ $n$. และ (ยังไม่มีการพิสูจน์อย่างเป็นทางการ แต่มีตัวอย่างที่ชัดเจน) เหตุผลที่การคำนวณบนเส้นโค้งเข้า $\mathbb Z_n$ การตีผกผันที่ไม่สามารถคำนวณได้คือจุดที่ไม่มีที่สิ้นสุด $\คณิตศาสตร์ O$ มาถึงโค้งหนึ่งใน $\mathbb Z_p$ หรือ $\mathbb Z_q$ (สมมุติ $p$ และ $คิว$ เป็นนายกรัฐมนตรีทำให้ $\mathbb Z_p$ และ $\mathbb Z_p$ เขตข้อมูลและ $\คณิตศาสตร์ O$ บนเส้นโค้งที่สอดคล้องกันที่กำหนดไว้อย่างดี)
เรื่องนี้ทำให้เราเข้าใจ ทำไม อัลกอริทึมทำงาน ซึ่งจะทำให้สามารถให้เหตุผลเกี่ยวกับมันและประเมินความน่าจะเป็นที่จะสำเร็จได้ (นั่นคือการเปิดเผยปัจจัยที่ไม่สำคัญของ $n$). เมื่อไร $n$ เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน $p_i$ความน่าจะเป็นนั้นคือผลรวมของความน่าจะเป็นที่ถึงจุดสิ้นสุดของเส้นโค้งสำหรับแต่ละเส้นโค้ง $p_j$ลบความน่าจะเป็น (ต่ำมาก) ที่จะโดนพร้อมกันในทุกโค้ง
คนส่วนใหญ่ไม่เข้าใจว่าการถามคำถามมากมายจะปลดล็อกการเรียนรู้และปรับปรุงความสัมพันธ์ระหว่างบุคคล ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาของ Alison แม้ว่าผู้คนจะจำได้อย่างแม่นยำว่ามีคำถามกี่ข้อที่ถูกถามในการสนทนา แต่พวกเขาไม่เข้าใจความเชื่อมโยงระหว่างคำถามและความชอบ จากการศึกษาทั้ง 4 เรื่องที่ผู้เข้าร่วมมีส่วนร่วมในการสนทนาด้วยตนเองหรืออ่านบันทึกการสนทนาของผู้อื่น ผู้คนมักไม่ตระหนักว่าการถามคำถามจะมีอิทธิพลหรือมีอิทธิพลต่อระดับมิตรภาพระหว่างผู้สนทนา
