เหตุใดแคลคูลัสดัชนีจึงใช้งานได้

แคลคูลัสดัชนีขึ้นอยู่กับสองแนวคิดง่ายๆ:

1. จำนวนเต็มทุกตัวสามารถเขียนเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะได้
2. ระบบสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรจำนวนน้อยสามารถแก้ไขได้ด้วยสมการอิสระที่เพียงพอ

ยกตัวอย่างกลุ่มวัฏจักร $\mathbb{Z}/p$ กับ $p$ รากที่สำคัญและดั้งเดิมค. องค์ประกอบ $c^i$ (สำหรับ $i=0,1,2,...,p-1$) เท่ากันทุกประการ โมดูโล p กับจำนวนเต็ม $1,2,...,p-1$. จำนวนเต็มเหล่านี้สามารถแสดงได้ด้วยพลังของจำนวนเฉพาะจำนวนน้อย $P_1,..., P_k $ มีขนาดเล็กกว่า $p$. หากเราทราบดัชนีของแต่ละจำนวนเฉพาะ เนื่องจากดัชนีเป็นโมดูโลแบบบวก $p-1$จากนั้นเราจะทราบดัชนีของแต่ละองค์ประกอบในกลุ่มของเรา

ในตัวอย่างนี้ ตัวแปรคือดัชนีของจำนวนเฉพาะ $P_j$ และสมการที่ได้รับจาก $$c^i=\prod_j P_j^{r_j} \leadsto i=\sum_j r_j \operatorname{ind}(P_j).$$ โปรดทราบว่าตั้งแต่ $c^i$ ยังจะตี $P_j$เรามีสมการอิสระเพียงพอที่จะแก้ดัชนีทั้งหมด ความหวังคือแน่นอนว่าเราไม่จำเป็นต้องเรียกใช้สมการทั้งหมด แต่สมการแรกนั้นมีดัชนีทั้งหมดอยู่แล้วและมีความเป็นอิสระเชิงเส้นมากพอ การเลือก c เป็นสิ่งสำคัญในการที่เราจะมีข้อมูลเพียงพอที่จะแก้ปัญหาระบบเชิงเส้นได้เร็วเพียงใด

คุณสามารถสรุปสิ่งนี้กับกลุ่มทั่วไปมากขึ้น แต่แนวคิดยังคงเหมือนเดิม