q-ary lattices - หลักฐานของ dual upto scale

ตาข่ายสองอันถูกกำหนดดังนี้: \begin{จัด} \Lambda_q^{\bot}{(A)} & = \{\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^m: A\mathbf{x} = \mathbf{0}\text{ mod }q\ } \ \Lambda_q{(A)} & = \{\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^m: \mathbf{x} = A^T\mathbf{s} \text{ mod }q \text{ สำหรับ บาง } \mathbf{s} \in \mathbb{Z}^n_q\} \end{แนว} ส.ต.ท.

1. $\Lambda_q{(A)} = q \cdot \Lambda_q^{\bot}{(A)}^*$, ที่ไหน $\Lambda_q^{\bot}{(A)}^*$ เป็นคู่ของ $\Lambda_q^{\bot}{(A)}$, และ
2. $\Lambda_q^{\bot}{(A)} = q \cdot \Lambda_q{(A)}^*$, ที่ไหน $\Lambda_q{(A)}^*$ เป็นคู่ของ $\Lambda_q{(A)}$.

ในการอ้างอิงส่วนใหญ่ ฉันเห็นว่ามันถูกทิ้งไว้เป็นแบบฝึกหัด และฉันไม่สามารถหาข้อพิสูจน์ได้