SIDH: จะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวกำเนิดเคอร์เนลสองตัวถูกเลือกในกลุ่มแรงบิดเดียวกัน?

ใน SIDH ฝ่ายใดฝ่ายหนึ่งเลือกจุดลับของตน $R_A = [m_A]P_A+[n_A]Q_A \ใน E[\ell_A^{e_A}]$, $R_B = [m_B]P_B+[n_B]Q_B \ใน E[\ell_B^{e_B}]$ จากสองชุดที่แตกต่างกัน $E[\ell_A^{e_A}]$ และ $E[\ell_B^{e_B}]$. จะเกิดอะไรขึ้นหากเลือกจุดสองจุดจากชุดเดียวกัน ($E[\ell_A^{e_A}]$ หรือ $E[\ell_B^{e_B}]$)?

สิ่งเลวร้ายเกิดขึ้นมาก อนุญาต $E' := E/â©R_Aâª$ เป็นเส้นโค้งภาพของ isogeny $Ï:EâE'$ ด้วยเคอร์เนล $R_A$:

1. $Ï$ ไม่ได้ฉีด $E[\ell_A^{e_A}]$: มันจับคู่กับกลุ่มย่อยที่เป็นวงจร $G â E'[\ell_A^{e_A}]$;
2. ไอโซเจน $\hat{Ï}:E' â E'/G$ คือ isogeny คู่ของ $Ï$;
3. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง $E'/G$ เป็นไอโซมอร์ฟิคไป $E$.

ดังนั้นหากทั้งสอง $R_A$ และ $R_B$ เป็นคะแนนใน $E[\ell_A^{e_A}]$, อย่างจำเป็น $Ï(R_B) â G$. ถ้า $Ï(R_B)$ เกิดขึ้นเป็นเครื่องกำเนิดของ $G$ (กรณีที่เป็นไปได้มากที่สุด) จากนั้น "ความลับ" ที่ใช้ร่วมกันของตัวแปร SIDH นี้คือเส้นโค้งเริ่มต้น โดยทั่วไปแล้ว ความลับที่ใช้ร่วมกันจะจบลงด้วยการเป็นหนึ่งในทางโค้งบนเส้นทางของอลิซ $E$ ถึง $E'$. ไม่ว่าในกรณีใด สิ่งนี้ไม่ปลอดภัยอย่างชัดเจน