ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนใช้ในการพิสูจน์นี้อย่างไร¼

คุณช่วยอธิบายโดยละเอียดได้ไหม ?

คุณต้องใช้ทฤษฎีบทส่วนที่เหลือของจีนกับวงแหวน $\prod_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$.

วงแหวนนี้มีลักษณะเป็นไอโซมอร์ฟิคของวงแหวน $\times_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$. ให้โทร $\phi$ มอร์ฟิซึมนี้

ให้ระลึกถึงสิ่งนั้นสำหรับทุกคน $x \in \prod_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$, $x \mod \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$ คือ $i$th พิกัดของ $\phi(x)$.

จากนั้นเราคำนวณ $t :=\phi^{-1}(t_1 \mod \mathfrak{p}_1^{e_{1}+1}, \dots, t_r \mod \mathfrak{p}_r^{e_{r}+ 1})$.

ดังนั้น $t\in \prod_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1} $ (เพราะ $\phi^{-1} : \times_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1} \rightarrow \prod_{1\leq i\leq r} \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$).

และ $t\mod \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1} = \phi^{-1}(t_1 \mod \mathfrak{p}_1^{e_{1}+1}, \dots, t_r \mod \mathfrak{p}_r^{e_{r}+1}) \mod \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1}$ $$ = t_i \mod \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1} \mod \mathfrak{p}_i^{e_{i}+1} =t_i \mod \mathfrak{p}_i^{ e_{i}+1}$$