การสร้างคีย์สาธารณะทำงานอย่างไรใน GeMMS ลายเซ็นดิจิทัลหลังควอนตัมหลายตัวแปร

มีบางขั้นตอนในการสร้างคีย์สาธารณะของ GeMSS ที่ฉันพยายามทำความเข้าใจ อันแรกคือสมการด้านล่าง (1)

อะไร "$\theta_i$ เป็นพื้นฐานสำหรับ $\mathbb{F}_{2^n}$ เกิน $\mathbb{F}_2$" หมายถึงอะไร ฉันรู้ว่าพื้นฐานในพีชคณิตเชิงเส้นคืออะไร แต่จำเป็นต้องมีรายละเอียดเพิ่มเติมเพื่อให้ฉันเข้าใจได้
เราจะตีความแผนที่อย่างไร $\phi$?

1. $(\theta_1,\ldots,\theta_n)\in(\mathbb{F}_{2^n})^n$ เป็นพื้นฐานสำหรับ $\mathbb{F_{2^n}}$ เกิน $\mathbb{F}_2$.
   $\phi:E=\sum_{k=1}^{n}e_k\theta_k\in\mathbb{F}_{2^n} \to \phi(E) = (e_1,\ldots,e_n)\ ใน{\mathbb{F}_2}^n $.

เป็นอย่างไรกันแน่ $f$ สร้างจาก $F$ ใน (2) ด้านล่าง?

2) $$F=\sum_{\substack{0\leq j \lt i \lt n \ 2^i + 2^j \leq D\}} A_{i,j}X^{2^i+2 ^j} + \sum_{\substack{0\leq i \lt n \ 2^i \leq D}} \beta_i(v_1,\ldots,v_v)X^{2^i} + \gamma(v_1,... ,v_v)$$

$f = (f_1,\ldots,f_n) \in \mathbb{F}_2[x_1,\ldots,x_{n+v}]^n$ ถูกสร้างขึ้นจาก $F \ใน F_{2^n}[X,v_1,\ldots,v_v]$ โดยแก้ไขดังนี้

$$F(\sum_{k=1}^n\theta_kx_k,v_1,\ldots,v_v) = \sum_{k=1}^{n}\theta_kf_k$$

3. คีย์สาธารณะจะถูกคำนวณเป็นคีย์แรก $m=n-\เดลต้า$ พหุนามของ $(p_1,\ldots,p_n)=$

$(f_1((x_1,\ldots,x_{n+v})S),\ldots,f_n((x_1,\ldots,x_{n+v})S))T \mod \langle x_{1} ^2-x_1, \ldots, x_{n+v}^2 - x_{n+v} \rangle \in \mathbb{F}_2[x_1,\ldots,x_{n+v}]^n$

ที่ไหน $(S,T)\in GL_{n+v}(\mathbb{F}_2) \times GL_n(\mathbb{F}_2)$. มันหมายถึงอะไร $\mod \langle x_{1}^2-x_1, \ldots, x_{n+v}^2 - x_{n+v} \rangle$ โดยสมการสนาม? ทำไมสมการฟิลด์ของแบบฟอร์ม $x_{i}^2 - x_i?$

นี่คือลิงค์ไปยังข้อกำหนดเฉพาะของ GeMMS สำหรับรอบ 2 สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม (หน้า 6 และ 7 มีการสร้างคีย์)

https://www-polsys.lip6.fr/Links/NIST/GeMSS_ specification_round2.pdf